Euclid taught me that without assumptions there is no proof. Therefore, in any argument, examine the assumptions. E. T. Bell
AUGUSTG
For thoughts and other stuff
Rotasjonsbevegelse
Definisjon og bevaring
Newtons andre lov konstaterer at summen av kreftene $\mathbf{F}$ som virker på et legeme med masse $m$ er lik legemets endring i bevegelsesmengde $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$ over tid. Dette kan skrives \[ \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}. \] Dersom legemet har massesenter $\mathbf{r}$ kan vi, helt umotivert, dermed også skrive \[ \mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt}. \] Siden produktregelen for derivasjon gir \[ \frac{d}{dt}\left( \mathbf{r}\times \mathbf{p} \right) = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\times\mathbf{p} + \mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt} \] og $\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}$ er parallell med $\mathbf{p}$ følger det at \[ \frac{d}{dt}\left( \mathbf{r}\times \mathbf{p} \right) = \mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt}. \] Med andre ord kan vi skrive \[ \mathbf{r}\times\mathbf{F}=\frac{d}{dt}\left( \mathbf{r}\times \mathbf{p} \right). \] I situasjoner der $\mathbf{r}\times\mathbf{F}=0$ vil vektorstørrelsen $\mathbf{r}\times \mathbf{p}$ altså ikke endre seg over tid -- den er bevart! Siden slike størrelser har en tendens til å være veldig nyttige bør vi kalle denne størrelsen for noe. Det her vanlig å bruke begrepet angulærmoment og symbolet $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}$. Den vektoren som er null når angulærmomentet er vanligvis kalt kraftmoment eller dreiemoment og symbolet $\mathbf{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$.Legg merke til at siden denne størrelsen er avhengig av posisjonen $\mathbf{r}$ vil den endre seg, og kanskje ikke være bevart, dersom man ønsker å bytte referansesystem. Legg også merke til at dersom du har et system av $N$ punktmasser $\{m_i\}_{i=1}^N$ med posisjoner $\{\mathbf{r}_i\}_{i=1}^N$ kan alle likningene legges sammen slik at \[ \sum_i \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i=\frac{d}{dt}\left( \sum_i \mathbf{r}_i\times \mathbf{p}_i \right). \] Dette betyr at det gir mening å summére både angulærmoment og kraftmoment. Det betyr også at det totale angulærmomentet $\mathbf{L}=\sum_i \mathbf{L}_i$ er bevart dersom det totale kraftmomentet $\mathbf{\tau}=\sum_i \mathbf{\tau}_i$ er null.
Rotasjon om seg selv
La oss nå si at vi har et rigid legeme bestående av $N$ forskjellige punktmasser $\{m_i\}_{i=1}^N$ med posisjoner $\{\mathbf{r}_i\}_{i=1}^N$ sett fra massesenteret \[ \mathbf{R}=\frac{1}{m}\sum_i m_i \mathbf{r}_i \mbox{ der } m=\sum_i m_i. \] Vi antar videre at dette legemet roterer med vinkelhastighet $\omega$ om en rotasjonsakse som er parallel med $z$-aksen og som går gjennom massesenteret $\mathbf{R}$. Hastigheten til ethvert punkt i legemet kan altså skrives $v=\omega s$, der $s$ er avstanden fra legemet til rotasjonsaksen. Selv om det blir vanskelig å uttrykket angulærmomentet i sin helhet, kan vi forsøke å uttrykke $z$-komponenten \[ L_z = \sum_i \left( \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i \right)_z. \] Siden det for alle vektorer $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ som utspenner en vinkel $\theta$ er sant at $\mathbf{a}\times \mathbf{b} = a b \sin (\theta )\mathbf{n}$, der $\mathbf{n}$ er en retningsvektor med enhets lengde, kan vi skrive $\mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i=r_ip_i\sin (\theta_i) \mathbf{n}_i$. Dersom alle punktmassene går i sirkelbane rundt rotasjonsaksen står $\mathbf{r}_i$ og $\mathbf{p}_i$ vinkelrett på hverandre og dermed $\sin (\theta_i)=1$. Det betyr at \[ \sum_i \left( \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i \right)_z = \sum_i r_i p_i \sin (\theta_i) \left(\mathbf{n}_i \right)_z = \sum_i r_i p_i \left(\mathbf{n}_i \right)_z. \] Siden $\left(\mathbf{n}_i \right)_z=\mathbf{n}\cdot \mathbf{e}_z$ ser vi videre at $\left(\mathbf{n}_i \right)_z=\cos \phi_i$, der $\phi_i$ er vinkelen mellom vektoren som står normalt på vektorene $\mathbf{r}_i$ og $\mathbf{p}_i$, og $z$-aksen. Ved nærmere ettertanke ser vi at $r_i \cos \phi_i = s_i$ der $s_i$ er avstanden fra $z$_aksen til punktmassen. Altså har vi at \[ \sum_i r_i p_i \left(\mathbf{n}_i \right)_z = \sum_i r_i p_i \cos \phi_i = \sum_i s_i p_i. \] Ved videre å bruke at $p_i = m_i v_i$ og $v_i=\omega s_i$ ser vi at \[ \sum_i s_i p_i = \sum_i s_i m_i v_i = \sum_i \omega s_i^2 m_i. \] Siden $\omega$ er den samme for alle punktmassene kan vi nå skrive \[ L_z = \omega \left( \sum_i s_i^2 m_i \right). \] Størrelsen $I=\sum_i s_i^2 m_i$ er en svært viktig størrelse kalt for treghetsmoment. Før vi studerer egenskapene til treghetsmomentet bør vi imidletid undersøke hva vi akkurat har oppdaget. Vi kan altså uttrykke den komponenten av angulærmomentet som peker langs rotasjonsaksen ved \[ L_z = \omega I. \] Dersom ingen kraftmoment virker på legemet ser det altså ut til at den eneste måten å endre rotasjonshastigheten $\omega$ på er ved å endre treghetsmomentet $I$. For å doble vinkelhastigheten $\omega$ må treghetsmomentet $I$ halveres, og omvendt.
Treghetsmoment
Treghetsmomentet til et legeme er mål på hvor vanskelig er det å få legemet til å rotere om en bestemt akse. Legg merke til at treghetsmomentet alltid er definert i forhold til en bestemt rotasjonsakse. At dette gir mening kan vi overbevise oss om ved å tenke på en tynn lang stokk. Dersom stokken roteres om en akse som går gjennom massesenteret og står normalt på stokken vil det kreve mye kraft å igangsette rotasjonen. Dersom rotasjonsaksen roteres slik at den ligger langs stokken vil det være mye lettere å få stokken til å rotere.Treghetsmomentet for en rotasjonsakse $a$ til et legeme som består av punktmasser $\{m_i\}$ er altså gitt av uttrykket \[ I = \sum_i s_i^2 m_i, \] der $s_i$ er punktmassens avstand til rotasjonsaksen. Selv om verden kanskje bygget opp av punktmasser, kalt partikler, fremstår ting for oss som kontinuerlige. Hvordan kan vi finne treghetsmomentet til en kule?
I stedet for å dele opp den totale massen i punktmasser $m_i$ kan vi dele legemets masse i små biter $\Delta m$. I grensen der disse bitene blir uendelig små kan vi gjenkjenne Riemann integralet \[ I = \lim_{\Delta m \rightarrow 0} \sum_i s_i^2 \Delta m = \int_m s^2 dm. \] Ofte er det enklere å beregne treghetsmomentet ved å utføre substitusjonen $\rho V = m$ og anta at massetettheten $\rho$ er konstant i hele legemet. Eksempelvis er treghetsmomentet for en rotasjonsakse står vinkelrett på, og går gjennom massesenteret til, en uendelig tynn, sylinderformet stav med lengde L gitt ved \[ \begin{aligned} I_{CM} &= \int_m s^2 dm = \int_V s^2 \rho dV \\ &= A\rho \int_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L} x^2 dx = A\rho \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}L\right)^3 \\ &= A\rho \frac{L^3}{12} = \frac{mL^2}{12}. \end{aligned} \] Ettersom treghetsmomentet avhenger av rotasjonsaksen kan det være hensiktsmessig å studere nøyaktig hva som skjer med treghetsmomentet når aksen flyttes. Dersom et legemes rotasjon rundt en spesifikk akse har treghetsmoment $I_0$, hva er treghetsmomentet $I$ dersom aksen forskyves med $\mathbf{r}_0$? \[ \begin{aligned} I &= \int (\mathbf{s}-\mathbf{r}_0)^2 dm = \int \mathbf{s}^2 dm- \int 2\mathbf{s}\cdot\mathbf{r}_0 dm + \int \mathbf{r}_0^2 dm \\ &= I_0 - 2\mathbf{r}_0 \cdot \int \mathbf{s} dm + \mathbf{r}_0^2 \int dm = I_0 - 2\mathbf{r}_0 \cdot m\mathbf{R}' + m r_0^2 \end{aligned} \] der $\mathbf{R}'$ er massesenteret projeksjon på $xy$-planet. Dette betyr at hvis den opprinnelige rotasjonsaksen gikk gjennom massesenteret $CM$, så må $\mathbf{R}'=0$ og dermed \[ I = I_{CM} + m r_0^2. \] Dette resultatet kalles gjerne for Parallell-akse-teoremet. Legg merke til at siden $mr_0^2$ aldri kan bli negativt kan treghetsmomentet aldri bli mindre enn når rotasjonsaksen går gjennom legemets massesenter.
Rot med kvadratrot
I matematikk snubler man ofte over likninger som ser fullstendig uløselige ut. Et eksempel er følgende likning $$ x=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}}}} $$ Merkelig nok gjør det faktum at mønsteret på høyre side fortsetter til uendelig at denne likningen er lett å løse. Vi kan ta kvadratet av begge sider for å få $$ x^2=x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}}}} $$ Ved nå å trekke fra x på begge sider kan vi studere det som er igjen på høyresiden $$ x^2-x=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}}}} $$ det som står på høyresiden er nemlig det samme som det vi startet med. Det må altså fremdeles være sant at dette kan kalles for x. Vi får altså $$ x^2-2x=0 $$ som løses av $$ x=0 \mbox{ og } x=2. $$ Vi kunne forutsett $x=0$, mens $x=2$ er litt mer overraskende. Funksjonen $$ f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}}}} $$ tilfredsstiller altså $$ f(0)=0 \mbox{ og } f(2)=2. $$ La oss finne de andre verdiene ved å gjenta trikset over. Det gir $$ f(x)^2-f(x)-x=0 $$ Problemet er at mange av disse verdiene ikke gir mening. Først og fremst må vi forkaste alle de negative løsningene – de er et resultat av at vi var nødt til å kvadrere begge sider av likhetstegnet i utledningen over. plotter vi funksjonen får vi altså følgende figur:
Brachistochroneproblemet
Isaac Newton ble i 1696 gitt følgende utfordring:
Gitt to punkter A og B i et tyngdefelt. Dersom en perle begynner i ro i punkt A, hva er formen på den kurven perlen må trille langs for fortest mulig å nå punkt B?Det sies at Newton kom opp med en løsning allerede neste dag. La oss se nærmere på problemet:
Vi beskriver punktene A og B med koordinatene $$ A=(x_a,y_a) \mbox{ og } B=(x_b,y_b) $$ Den totale tiden T perlen bruker på å trille fra A til B kan vi skrive som et integral over infinitesimale tidsteg $$ T=\int_{t_a}^{t_b} dt $$ og siden fart er gitt som v dt = ds får vi $$ T=\int_{A}^{B} \frac{1}{v}ds $$ Siden ds er et infinitesimalt linjestykke kan vi tenke på ds som hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter dx og dy. Da kan vi bruke pythagoras til å si at $$ T=\int_{A}^{B} \frac{1}{v}\sqrt{dx^2+dy^2}= \int_{x_a}^{x_b}\frac{ 1 }{v} \sqrt{ 1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 }dx $$ Vi tenker oss at perlen ikke opplever friksjonskrefter, noe som betyr at energi er bevart. Ved å likestille den kinetiske enerien med den potensielle energien fra tyngefeltet, får vi $$ \frac{1}{2}mv^2=mgy \Rightarrow v = \sqrt{2gy} $$ Problemet ligger altså i å minimere $$ T= \frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{x_a}^{x_b} \sqrt{ \frac{ 1+\left( y' \right)^2}{y} }dx $$ For å forhindre grisete regning definerer vi nå $$ F(y,y') \equiv \frac{1}{\sqrt{2g}}\sqrt{ \frac{ 1+\left( y' \right)^2}{y} } $$ og studerer en liten endring $\delta T$ i perlens reisetid: $$ \begin{aligned} \delta T &= \delta \int_{x_a}^{x_b}F dx \\ &= \int_{x_a}^{x_b}\left( \frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y'\right)dx \\ &= \int_{x_a}^{x_b}\frac{\partial F}{\partial y}\delta y dx + \int_{x_a}^{x_b} \frac{\partial F}{\partial y'}\frac{d(\delta y)}{dx} dx \\ \end{aligned} $$ Vi bruker nå delvis integrasjon på siste ledd i integralet ved å $$ \mbox{integrere } \frac{d}{dx}(\delta y) \mbox{ og derivere } \frac{\partial F}{\partial y'} $$ Det gir $$ \begin{aligned} \int_{x_a}^{x_b} \frac{\partial F}{\partial y'}\frac{d(\delta y)}{dx} dx = \left[ \frac{\partial F}{\partial y'}\delta y \right]_{x_a}^{x_b}-\int_{x_a}^{x_b} \delta y \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) dx \end{aligned} $$ Vi ønsker ikke å tillate variasjoner i kurvens endepunkter siden disse skal holdes fast i punktene A og B. Det betyr at $$ \delta y(x_a)=\delta y(x_b)=0 \mbox{ og derfor } \left[ \frac{\partial F}{\partial y'}\delta y \right]_{x_a}^{x_b} = 0 $$ Vi sitter altså igjen med at en liten endring $ \delta T$ i perlens reisetid er gitt som $$ \begin{aligned} \delta T &= \int_{x_a}^{x_b}\frac{\partial F}{\partial y}\delta y dx-\int_{x_a}^{x_b} \delta y \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) dx \\ &= \int_{x_a}^{x_b}\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\right]\right)\delta y dx \end{aligned} $$ Siden det ikke finnes noen maksimal tid perlen kan bruke kan vi trygt si at kurven som gir minimal reisetid fremkommer av å kreve at endringen i reisetid er forsvinnende: $\delta T = 0 $. Vi får altså $$ \int_{x_a}^{x_b}\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\right]\right)\delta y dx=0 $$ som må bety at $$ \frac{d}{dx}\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\right]-\frac{\partial F}{\partial y}=0 $$ Denne likningen kalles Euler-Lagrange likningen og gjelder for en generell situasjon der man ønsker å gjøre $ \int F(x,y,y') dx $ stasjonær. For å forenkle regningen kan det være hensiktsmessig å benytte Beltramis identitet. Den finner vi lett ved å derivere F med hensyn på x: $$ \frac{dF}{dx}=\frac{\partial F}{\partial y}y'+\frac{\partial F}{\partial y'}y'' \mbox{ siden } \frac{\partial F}{\partial x}=0 $$ Vi løser likningen for $$ \frac{\partial F}{\partial y}y' \mbox{ og finner } \frac{\partial F}{\partial y}y'=\frac{dF}{dx}-\frac{\partial F}{\partial y'}y'' $$ Med dette i tankene multipliserer vi Euler-Lagrange med y' og får $$ y'\frac{d}{dx}\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\right]-y'\frac{\partial F}{\partial y}=y'\frac{d}{dx}\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\right]+\frac{\partial F}{\partial y'}y''-\frac{dF}{dx}=0 $$ Ved å kjenne igjen produktregelen får vi da $$ \frac{d}{dx}\left( y'\frac{\partial F}{\partial y'}-F\right)=0 $$ Vi kan altså si at uttrykket $$ y'\frac{\partial F}{\partial y'}-F $$ må være en konstant. Denne konstanten kaller vi $-C/\sqrt{2g}$. Da har vi $$ \begin{aligned} C &=\sqrt{2g}\left[ F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}\right] \\ &=\sqrt{\frac{1+y'^2}{y}}-y'\frac{\partial }{\partial y'}\sqrt{\frac{1+y'^2}{y}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{y}}\sqrt{1+y'^2}-\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{1}{\sqrt{1+y'^2}} \\ \end{aligned} $$ Dette betyr, ved å introdusere nok en konstant $k^2=1/C^2$, at $$ \left[ 1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \right] y = k^2 $$ eller, om du vil, $$ \left[ dx^2+dy^2 \right] y = k^2 dx^2 $$ som løses av $$ \begin{aligned} x(t)&=\frac{1}{2}k^2(t-\sin t) \\ y(t)&=\frac{1}{2}k^2(1-\cos t) \\ \end{aligned} $$ Dette er likningene for en sykloide - et punkt på en trillende sirkel.
Baselproblemet
I 1644 fremsatte den italienske matematikeren Pietro Mengoli et tilsynelatende uskyldig problem som først ble løst 90 år senere av en 28 år gammel Leonhard Euler. Problemet, som er gitt navnet Baselproblemet, er å finne verdien av følgende sum $$ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+...=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} $$ Euler angrep problemet som han pleide: ved å begynne med noe helt annet.
Vi vet at funksjonen $$ \sin(x)/x \mbox{ har nullpunkter i } x=\pm \pi,\pm 2\pi, \pm 3\pi,... $$ Vi gjør da som vi pleier å gjøre når vi kjenner et polynoms nullpunkter - vi faktoriserer polynomet: $$ \frac{\sin x}{x} =\left( 1+\frac{x}{\pi}\right)\left( 1-\frac{x}{\pi}\right)\left( 1+\frac{x}{2\pi}\right)\left( 1-\frac{x}{2\pi}\right)\left( 1+\frac{x}{3\pi}\right)\left( 1-\frac{x}{3\pi}\right)... $$ Ved å parvis multiplisere sammen de faktorene med lik tallverdi får vi altså $$ \frac{\sin x}{x} =\left( 1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left( 1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left( 1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)... $$ På den annen side vet vi at sinus kan skrives som følgende Taylorrekke $$ \sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... $$ noe som betyr at $$ \frac{\sin{x}}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+... $$ Vi kan altså sette de to uttrykkene vi har funnet lik hverandre $$ 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+...=\left( 1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left( 1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left( 1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)... $$ Siden dette må holde for alle x, kan vi studere hver enkelt grad av x separat. La oss studere leddene som inneholder $ x^2 $ $$ -\frac{x^2}{3!}=-\left( \frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+...\right)x^2 $$ Ved å forkorte med $ -x^2 $ og trekke $ 1/\pi^2 $ ut av summen på høyre side kjenner vi plutselig igjen Pietro Mengolis problem $$ \frac{1}{3!}=\frac{1}{\pi^2}\left( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}...\right)=\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} $$ Altså må verdien av summen være $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} $$ Euler fortsatte på denne måten for $ x^4,x^6,$ osv og fant $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}, \ \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6} = \frac{\pi^6}{945} $$ Han lette trolig etter et mønster helt til han i 1744 fant at $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{26}}=\frac{2^{24}76977927\pi^{26}}{27!} $$ Det har blitt funnet at det generelle uttrykket for partallseksponenter er gitt av $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2k}}=\frac{(-1)^{k+1}B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!} $$ der $ B_{2k}$ er Bernoullitall nummer $ 2k $. Mer interessant er det å høre at man aldri har funnet en eksakt verdi for $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2k+1}} $$ altså oddetallseksponenter.
Mangedimensjonale kuler
Første gang man legger merke til at den deriverte av arealet til en sirkel med hensyn på sirkelens radius er nøyaktig lik sirkelens omkrets tror man kanskje det er en tilfeldighet. Det er muligens ikke før man ser at det samme gjelder for en kule at begynner å mistenke at noe er på ferde.
Ved nærmere ettertanke er dette nødt til å holde for alle kuler av endelig dimensjon $n$. Hvis $S_n(R)$ og $V_n(R)$ er henholdsvis overflaten og volumet til en $n$-dimensjonal kule må
\[
\frac{d}{dR}V_n(R) = S_n(R)
\]
siden det som legges til kulens volum ved en ørliten endring i radius $\delta R$ er nøyaktig overflaten $S_n$ multiplisert med en ørliten tykkelse $\delta R$. La oss nå introdusere to konstanter $C_n$ og $D_n$ som er slik at $S_n(R)=C_{n-1} R^{n-1}$ og $V_n(R)=D_n R^n$. Vi akn tenke på $C_{n-1}$ og $V_n$ som henholdsvis overflatestørrelsen og volumet til den $n$-dimensjonale enhetskulen. Det betyr at vi må ha
\[
S_n = C_{n-1} R^{n-1} = \frac{d}{dR}V_n(R) = \frac{d}{dR} D_n R^n = n D_n R^{n-1}.
\]
En ekvivalent måte å si dette på er at volumet til enhver $n$-dimensjonal kule med radius $R$ kan skrives som summen av alle (uendelig) tynne kuleskall med radius mindre enn $R$.
Dette er et passende tidpunkt å lege merke til at volumet til en $n$-dimensjonal kule med radius $R$ er summen av alle infinitesimale $n$-dimensjonale volumelementer $d^nx$ som er slik at $|\pmb{x}|=R$. Vi vet at de $n-2$ første integralene gir volumet av en $n-2$-dimensjonal kule med radius $R^2-x^2-y^2$ der $x$ og $y$ er de gjenværende integrasjonsvariablene. Altså har vi
\[
\begin{align}
V_n(R)
&= \int d^nx
= \int_0^R \int_0^{2\pi} V_{n-2}\left(\sqrt{R^2-x^2-y^2}\right) dxdy \\
&= \int_0^R \int_0^{2\pi} V_{n-2}\left(\sqrt{R^2-r^2}\right) r d\theta dr \\
&= 2\pi D_{n-2} \int_0^R \left(R^2-r^2\right)^\frac{n-2}{2} r dr \\
&= 2\pi D_{n-2}R^n \int_0^1 \left(1-y^2\right)^{\frac{n}{2}-1} y dy \\
&= 2\pi D_{n-2}R^n \int_0^1 x^{\frac{n}{2}-1} \frac{1}{2}dx \\
&= 2\pi D_{n-2}R^n \frac{1}{n} \left[ x^\frac{n}{2} \right]_0^1 \\
&= 2\pi D_{n-2}R^n \frac{1}{n}
\end{align}
\]
for $n>2$. Vi sitter altså med to relasjoner:
\[
\begin{align}
C_{n-1} &= nD_n \\
D_{n} &= \frac{2\pi}{n}D_{n-2}.
\end{align}
\]
Det betyr at enhetskuler med jevn dimensjon har volum
\[
\begin{align}
D_{2k} &= \frac{(2\pi)^{k-1}}{(2k)(2k-2)(2k-4)...6\cdot 4} D_2 \\
&= \frac{(2\pi)^{k-1}}{2^{k-1} k!} \pi
= \frac{\pi^k}{ k!}
\end{align}
\]
ettersom $D_2=\pi$. Siden $D_3 = 4\pi/3$ må enhetskuler av odd dimensjon ha volum
\[
\begin{align}
D_{2k+1} &= 2\frac{(2\pi)^k}{(2k+1)(2k-1)(2k-3)... 7 \cdot 5 \cdot 3} \\
&= 2\frac{(2\pi)^k (2k)(2k-2)(2k-4)...4\cdot 2}{(2k+1)(2k)(2k-1)(2k-2)... 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \\
&= 2\frac{(2\pi)^k 2^k k! }{(2k+1)!}
= 2\frac{k!(4\pi)^k }{(2k+1)!}.
\end{align}
\]
Dette betyr at kuler med radius $R$ av dimensjon $n$ har volum
\[
V_n(R) =
\begin{cases}
2\frac{k!(4\pi)^k }{(2k+1)!}R^{2k+1} & \text{ for } n=2k+1 \\
\frac{\pi^k}{ k!}R^{2k} & \text{ for } n=2k \\
\end{cases}
\]
og areal
\[
S_n(R) =
\begin{cases}
2\frac{k!(4\pi)^k }{(2k)!}R^{2k} & \text{ for } n=2k+1 \\
2\frac{\pi^k}{(k-1)!}R^{2k-1} & \text{ for } n=2k \\
\end{cases}.
\]
Det som skjer er altså at både volumet og overflatearealet vokser med dimensjonen, helt til de når en maksimalverdi som avhenger av radien $R$. For dimensjoner som er større enn den som gir maksimalverdien avtar både volum og areal. For kuler der antall dimensjoner går mot uendelig går altså både volum og areal mot null. Under er et plott av volum og areal til enhetskulen som funksjon av dimensjonen:
Elektromagnetisme
Påvirkning uten berøring
Når to objekter påvirker hverandre uten å være i berøring er det ofte naturlig å introdusere konseptet felt. Feltets rolle er å formidle påvirkningen fra det ene objektet til det andre. På den måten kan man unngå den litt problematiske ideen om at romlig separerte objekter påvirker hverandre ved heller å tenke på hendelsen som at objektet påvirker feltet, feltet brer seg utover og feltet påvirker det andre objektet. Det fine med dette synspunktet er at ideen om påvirkning som et lokalt konsept er ivaretatt.Et eksempel på en situasjon der det er naturlig å introdusere et felt er for å forklare samspillet mellom elektriske ladninger. Vi er her interessert i kreftene de elektriske ladningene utfører på hverandre, noe som betyr at vi bør studere et vektorfelt. Feltet for elektrisitet kalles elektrisk felt og betegnes ofte ved $\mathbf{E}=\mathbf{E}(t,\mathbf{r})$. Kraften det elektriske feltet utøver på et punktlegeme med ladning $q$ er gitt ved $\mathbf{F}=q\mathbf{E}$. Likningen $\mathbf{F}=q\mathbf{E}$ er matematisk ekvivalent med Newtons andre lov $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$, bare med den ekstra muligheten at $m < 0$. Et vektorfelt som på mange måter likner det elektriske feltet er tyngdefeltet. Tyngdefeltet til en punktmasse $m$ kan tenkes på som tyngdeakselerasjonen massen gir opphav til. I analogi til likningen $$ |\mathbf{g}| \propto \frac{m}{r^2} $$ kan vi altså skrive $$ |\mathbf{E}| \propto \frac{q}{r^2}. $$ Dette er loven den franske fysikeren Charles Augustin de Coulomb oppdaget i 1784. Loven, som i ettertid har blitt kjent under navnet Coulombs lov, kan også skrives $$ \mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \frac{q_1 q_2}{r^3}\mathbf{r} $$ der $\mathbf{F}$ er kraften mellom to punktpartikler med ladning $q_1$ og $q_2$ som befinner seg i en avstand $r$ fra hvarandre. Proporsjonalitetskonstanten, $k_e=1/4 \pi \varepsilon_0$, kalles Coulombs konstant. På samme måte som tyngdefeltet har et potensial, kan vi konstruere et elektrisk potensial slik at $\mathbf{E}=-\nabla V$. Størrelsen på det elektriske potensialet kalles spenning og måles i Volt. Fra Coulombs lov finner vi at $$ V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} $$ for en punktladning $q$. Ha imidlertid i tankene at det elektriske feltets direkte avhengighet av det elektriske potensialet ikke lenger stemmer i nærvær av et magnetisk felt. Da må også et vektorpotensial introduseres.
Maxwells lover
Gauss lov
Fra definisjonen av det elektriske feltet følger det at den elektriske fluksen ut av et volum må være proporsjonal med ladningen volumet inneholder. Faktisk er $$ \iint _{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{int}}{\varepsilon_0} $$ der $\partial V$ er overflaten til volumet, $\mathbf{E}$ er det elektriske feltet, $d\mathbf{A}$ er en uendelig liten bit $dA$ av $\partial V$ med retning vinkelrett, ut av volumet på den relevante delen av $\partial V$. $q_{int}$ er den totale ladningen volumet inneholder og $\varepsilon_0$ er en proporsjonalitetskonstant kalt vakuumpermittiviteten.Som nevnt er det elektriske feltet og tyngdefeltet av matematisk lik form. Det er derfor ikke overraskende at også tyngefeltet har en Gauss lov: $$ \iint _{\partial V} \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4 \pi G m $$ der $\mathbf{g}$ er tyngdeakselerasjonen, $G$ er gravitasjonskonstanten og $m$ er massen inneholdt i volumet.
Gauss lov er et veldig nyttig verktøy for å beregne det elektriske feltet til et ladet legeme. Eksempelvis kan vi finne det elektriske feltet til et kuleskall med radius $R$ og uniform ladning $q$ en avstand $r>R$ fra kulen ved å velge $\partial V$ til å være et kuleskall av radius $r$. Det betyr at $$ \iint _{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = |\mathbf{E}| \iint _{\partial V} d\mathbf{A} = |\mathbf{E}| 4\pi r^2 = 4 \pi r^2 |\mathbf{E}| = \frac{q}{\varepsilon_0}. $$ Med andre ord setter et uniformt ladet kuleskall opp et elektrisk felt som er identisk med feltet fra en punktladning i sentrum av kulen, altså $$ \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}}. $$
Ved å introdusere konseptet om ladningstetthet $\rho$ kan vi relatere et legemes totale ladning $q$ med dets ladningstetthet ved å observere at $$ q = \iiint_V \rho dV. $$ Gauss lov kan dermed skrives $$ \iint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \iiint_V \frac{\rho}{\varepsilon} dV, $$ som ved å benytte divergensteoremet gjør at vi kan skrive $$ \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{E} dV = \iiint_V \frac{\rho}{\varepsilon} dV. $$ Siden begge sider integreres over det samme kan vi samle de to integralene til ett: $$ \iiint_{V} \left( \nabla \cdot \mathbf{E} - \frac{\rho}{\varepsilon} \right)dV=0. $$ Legg merke til at dette skal stemme for absolutt alle volumer $V$. Det må bety at dette egentlig er en egenskap som angår objektene inni integralet. Altså $$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}. $$ Dette er Gauss lov på differensialform.
Gauss lov for magneter
Ved å resirkulere argumentene i begynnelsen av denne teksten bør det, siden magnetisme er en form for påvirkning uten berøring, være mulig å forklare magnetisme ved hjelp av et magnetisk felt $\mathbf{B}$. I likhet med det elektriske feltet ble det magnetiske feltets $1/r^2$-avhengighet bekreftet på slutten av 1700-tallet. Derfor er det ikke overraskende at det også finnes en variant av Gauss lov for det magnetiske feltet. Grunnet magnetfeltets retning kan det imidlertid ikke forklares av en potensialfunksjon. Det forklares i stedet av et vektorpotensiale $\mathbf{A}$ slik at $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$. Det betyr at divergensen av det magnetiske feltet er null. Altså $$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 $$ eller, om du vil, $$ \iint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0. $$ Dette betyr at den størrelsen som spiller rollen som magnetfeltets masse, eller ladning, er konstant null. Av den grunn lar denne loven seg best formere med ord, nemlig: Det finnes ikke magnetiske monopoler.Legg merke til at magnetfeltet allerede ser litt merkelig ut. Ut av ethvert volum vil det "sprute" like mye magnetfelt ut, som det "spruter" inn. Ytteligere, og mer seriøse, komplikasjoner ved magnetfeltet vil dukke opp når vi senere studerer kraften magnetfeltet utøver.
Faradays induksjonslov
På begynnelsen av 1830-tallet oppdaget fysikerene Michael Faraday og Joseph Henry et forhold mellom elektrisitet og magnetisme uavhengig. De oppdaget at spenningen over en krets er proporsjonal med endringen i magnetfeltets fluks ut av arealet kretsen omslutter. Da Gustav Kirchhoff formulerte sin spenningslov, som sier at summen av spenningen over en strømsløyfe er alltid er lik null, i 1847 visste han altså at dette ikke alltid stemmer. I nærvær av et magnetisk felt i endring sier nemlig loven at summen av spenningen over en strømsløyfe er gitt ved hvor mye magnetfeltfluksen gjennom arealet utspent av sløyfen avtar med.La oss forsøke å skrive dette matematisk. Vi har sett at spenning, $V$, er det elektriske feltets potensialfunksjon, som betyr at $$ \int_a^b \mathbf{E} \cdot d\mathbf{\ell} = V(b)-V(a) $$ der $d\mathbf{\ell}$ er en differensial vektor som peker langs kurven somforbinder punktet $a$ med punktet $b$. Hvis kurven er lukket følger det altså at $$ \oint_\gamma \mathbf{E} \cdot d\mathbf{\ell} = 0. $$ Dette er Kirchhoffs spenningslov. Faradays induksjonslov sier at dette bare er et spesialtilfelle av den mer generelle loven $$ \oint_\gamma \mathbf{E} \cdot d\mathbf{\ell} = -\frac{d}{dt}\iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} $$ der $S$ er ethvert areal med rand lik $\gamma$. Dette er Maxwell-Faradays lov på integralform.
Ved å benytte Stokes sats kan vi skrive om integralet langs sløyfen $\gamma$ som et integral over flaten $S$: $$ \oint_\gamma \mathbf{E} \cdot d\ell = \iint_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = -\frac{d}{dt}\iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}. $$ Vi kan like gjerne utføre derivasjonen med hensyn på tid før integrasjonen, men da må vi passe på ikke å derivere noen av de variablene som integreres bort. Dette betyr at derivasjonen kan omgjøres til en partiell derivasjon inne i integralet slik at loven sier $$ \iint_S \left( \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right)\cdot d\mathbf{A} = 0, $$ der de to uttrykkene har blitt samlet under et felles integraltegn. Siden dette skal gjelde for alle flater $S$ følger det at $$ \nabla \times \mathbf{E} =- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, $$ som er Faradays induksjonslov på differensialform.
Ampèré-Maxwells lov
Som du kanskje allerede har gjettet bar den originale loven bare navnet til én av fysikerene, nemlig Ampèré. Ampèré oppdaget på begynnelsen av 1800-tallet at integralet rundt en lukket sløyfe er proporsjonal med strømmen gjennom sløyfen. Altså $$ \oint_\gamma \mathbf{B} \cdot d\mathbf{\ell} = \mu_0 I_{enc} $$ der $I$ er strømmen gjennom sløyfen $\gamma$ og $\mu_0$ proporsjonalitetskonstanten, kalt vakuumpermittiviteten. Strøm, som er definert som ladningsendring per tid, kan tenkes på som fluks av strømtetthet $\mathbf{J} \propto \mathbf{E}$. Altså $$ I = \iint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}. $$ Uttrykt ved strømtettheten sier Ampèrés lov dermed at $$ \oint_\gamma \mathbf{B} \cdot d\mathbf{\ell} = \mu_0 \iint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}. $$ Her Maxwell kommer inn i bildet. Maxwell oppdaget nemlig at dette ikke stemmer i nærheten av et elektrisk felt i endring. I det tilfellet må loven ta den mer generaliserte formen $$ \oint_\gamma \mathbf{B} \cdot d\mathbf{\ell} = \mu_0 \iint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt}\iint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \mu_0 \iint_S \left( \mathbf{J} +\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)\cdot d\mathbf{A}. $$ I likhet med Faradays induksjonslov kan denne likningen skrives på formen $$ \iint_S \left(\nabla \times \mathbf{B} -\mu_0\mathbf{J} -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)\cdot d\mathbf{A} = 0 $$ som, ettersom dette må gjelde for alle overflater $S$, betyr at $$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. $$ Dette er Ampèré-Maxwells lov på differensialform.Loven sier at magnetfeltet rundt en lukket sløyfe er proporsjonal med summen av strømmen og endringen i den magnetiske fluksen gjennom sløyfen. Legg merke til likhetstrekket med Faradays induksjonslov. Hvis strømtettheten er null, er begge feltenes vridning proporsjonal med endringen i det andre feltet. En konsekvens av denne likningen er Biot-Savarts lov, $$ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu}{2\pi}\int_\gamma \frac{I d\mathbf{\ell} \times \mathbf{r}'}{|\mathbf{r}'|^3} $$ der I er strømmen langs en lukket sløyfe $\gamma$ hvorav $d\mathbf{\ell}$ er en infinitesimal vektor som peker langs sløyfen, mens $\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{\ell}$. Loven følger ved å anta stasjonært elektrisk felt og bruke at $\mathbf{B}=-\nabla^2 \mathbf{A}$ stemmer for $\nabla \cdot \mathbf{A}$. Selv om beviset utelates her er resultatet såpass viktig at det fortjener en plass i denne teksten: Enhver elektrisk strøm gir opphav til et magnetfelt som står vinkelrett på strømretningen.
Lys som elektromagnetiske bølger
La oss si at vi, helt umotivert, skulle ønske å undersøke uttrykket $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})$. Ved å huske at $$ \mathbf{a}\times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) $$ ville vi først kunne observere at $$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} = \nabla \frac{\rho}{\varepsilon_0} - \nabla^2 \mathbf{E}. $$ I et område med jevnt fordelt ladningstetthet ($\nabla \rho = 0$) vil altså $$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = - \nabla^2 \mathbf{E}. $$ På den annen side har vi at $$ \begin{aligned} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = - \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \mathbf{B} = - \frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \end{aligned} $$ Hvis også strømtettheten i området er null, $\mathbf{J}=0$, vil altså det elektriske feltet tilfredsstille likningen $$ \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}. $$ Dette likner veldig på den kjente partielle differensiallikningen $$ \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} $$ kalt bølgelikningen. Bølgelikningen beskriver utviklingen til en bølge med hastighet $c$ i rom og tid. Vi har med andre ord funnet at det elektriske feltet oppfører seg som en bølge med hastighet $$ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} $$ i områder uten strømtetthet og med jevnt fordelt ledningstetthet. Verdien av hastigheten er lyshastigheten: $$ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^8 m/s. $$ Dette er første steg i erkjennelsen om at lys er elektromagnetiske bølger. Legg merke til at siden det ikke er noen annen romlig avhengighet enn lyshastgheten i bølgelikningen for $\mathbf{E}$ kan dette også ses på som første skritt mot relativitetsteorien. For oss, som vet at lyshastigheten er den samme i alle referansesystemer, er det mulig å se at dette er tilfellet fra denne likningen -- det er faktisk en konsekvens av Maxwells lover!Legg også merke til at lyshastigheten endres dersom permittiviteten eller permeabiliteten endrer seg. Lyshastigheten, $c'$, i et medium med permittivitet $\varepsilon$ og permeabilitet $\mu$ er med andre ord gitt ved $$ c' = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}. $$ Endelig kan vi også gi litt mening til begrepet brytningsindeks. Siden brytningsindeksen $n$ til et medium er forholdet $c/c'$ mellom lyshastigheten $c$ i vakuum lyshastigheten $c'$ i mediet kan vi nemlig uttrykke brytningsindeksen ved $$ n = \sqrt{\frac{\varepsilon\mu}{\varepsilon_0\mu_0}}. $$
Polarisering
En pussig konsekvens av at lys er elektromagnetiske bølger er at lys er en vektorstørrelse. Med andre ord har lys en skjult retning -- retningen til det oscillerende $\mathbf{E}$-feltet! Parameteren som bestemmer denne retningen er gitt navnet polarisering. Vanlig, upolarisert lys, består av bølger med elektrisk komponent i alle retninger. I enkelte tilfeller hender det imidlertid at lyset blir polarisert i den forstand at $\mathbf{E}$-feltet til alt lyset har samme retning i hvert punkt. Et typisk eksempel er fenomenet Brewstervinkel. Ved en bestemt innfallsvinkel, $\theta_B=\arctan (n_{fra}/n_{til})$, går den komponenten av $\mathbf{E}$-feltet som ikke er parallell med overflaten rett inn i et medie uten å bli reflektert. Det er denne effekten man utnytter når man bruker polariserte solbrilleglass. Sollyset som reflekteres fra snøen er lineært polarisert. Dersom solbrilleglassene stopper lys med denne polariseringen vil refleksjonene fra snøen ikke være like sterke.Magnetisk kraft
Kraften $\mathbf{F}$ det elektriske feltet $\mathbf{E}$ utøver på et legeme med ladning $q$ er gitt ved $\mathbf{F}=q \mathbf{E}$. Dette minner om Newtons andre lov, der $q$ spiller rollen som masse og $\mathbf{E}$ spiller rollen som legemets akselerasjon. Den tilsvarende kraften fra et magnetfelt $\mathbf{B}$ er fundamentalt annerledes fra $\mathbf{E}$-feltets. Først og fremst er kraften fra et magnetfelt vinkelrett på magnetfeltets retning. Desto mer spesielt er det at kraften avhenger av det påvirkede legemets hastighet. Uttrykket for kraften er $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$. Dette er en katastrofe! Kraften på legemet avhenger av legemets hastighet. Sett fra legemets perspektiv er det altså ingen magnetkraft som virker på det. Dette høres svært inkonsistent ut.La oss se nærmere på et eksempel og prøve å se hva som foregår. Gitt en punktladning $q$ som beveger seg med hastighet $v$ parallellt med en uendelig lang og rett strømførende ledning med strøm $I$ som ligger i en avstand $r$ fra punktpartikkelen. La oss si at strømmen i ledningen er slik at de positive ladningene har samme hastighet $v$ som punktpartikkelen, mens de negative ladningene beveger seg like fort den andre veien. Strømmen kan da skrives $I=2\lambda v$ der $\lambda$ er ladningstettheten (ladning per lengde) for de positive ladningene. Siden de negative og positive ladningene i ledningen har samme ladningstetthet, men med forskjellig fortegn, er det altså ikke noe elektrisk felt som virker på punktpartikkelen. Punktladningen er imidlertid utsatt for en magnetisk kraft $F=-qvB$ der $B=\mu_0I/2\pi r$. Sett fra punktladningens ståsted utgjøres strømmen kun av de elektriske ladningenes bevegelse. Siden punktladningen, sett fra sitt eget perspektiv, ikke beveger seg kan det imidlertid ikke virke noen magnetisk kraft på punktladningen. Dette ser ut til å være et seriøst problem!
Problemet løses av relativitetsteori. Når vi endrer referansesystem må huske at lengder sammentrekkes. At avstanden mellom de negative ledningene sammentrekkes mer enn de positive gjør at ledningen har en negativ ladning sett fra punktladningen. Denne ladningen setter opp et elektrisk felt som utøver en elektrisk kraft på den stillestående punktladningen. Med andre ord er magnetisme bare elektrisitet sett fra et referansesystem som beveger seg.