Operator Algebraer

- en spesialisering innen Masterstudiet i Matematikk ved UiO

Hva er "Operator algebraer" ?

Operator algebraer omfatter C*-algebraer og von Neumann algebraer. Feltet klassifiseres innenfor matematikken som en del av analysen, nærmere bestemt funksjonalanalysen. Funksjonalanalysen behandler analyse på uendelige dimensjonale vektorrom ved å ta i bruk topologiske begreper. En lineær avbildning mellom slike rom kalles en operator, og operator teori er av stor betydning i nesten all moderne analyse. Klassiske eksempler på operatorer er differensial- og integraloperatorer. Fourier tansformasjonen, eller det å danne Fourierrekken til en funksjon, kan oppfattes som en operator mellom to uendeligdimensjonale funksjonsrom. Et viktig moment er at sammensetningen av operatorer er en ikke-kommutativ operasjon : det må altså taes hensyn til rekkefølgen av operatorene i et slikt produkt. Dette skaper problemer for utviklingen av teorien, men dette gjør den også mere spennende, med vidtrekkende konsekvenser : den utgjør faktisk det matematiske grunnlaget for kvantemekanikken i fysikken.

Det er ofte hensiktsmessig å ikke bare betrakte en enkel operator, men en hel klasse av operatorer som danner en algebra samtidig som den oppfyller noen spesielle tekniske betingelser. I slike operator algebraer er det ikke-kommutative aspektet ved produktet igjen fremtredende. Operator algebraer kan gis en elegant aksiomatisk presentasjon og de kan da sees på som en generalisering av "vanlige" kommutative funksjonsalgebraer. I det tilfellet at algebraene er endeligdimensjonale, er de endelige summer av matrisealgebraer. I tillegg til å være et eget fagfelt som inndeles videre i mange retninger, er operator algebraer et nyttig verktøy i mange andre områder av matematikken. Her kan nevnes f.eks. topologi, geometri, knuteteori, dynamiske systemer, ergodeteori, wavelets, representasjonsteori for lokal kompakte grupper og kvantegrupper. Studiet av C*-algebraer kalles ofte ikke-kommutativ topologi eller ikke-kommutativ geometri, mens studiet av von Neumann algebraer kalles ikke-kommutativ målteori.

Operator algebraer er et internasjonalt meget aktivt forskningsområde og det fins en veletablert forskningsgruppe i dette feltet ved Matematisk Institutt. For informasjon om forskningsgruppen, dens aktiviteter og aktuelle temaer for masteroppgaver, kan man konsultere gruppens hjemmeside eller enkeltmedlemmennes hjemmesider (se nederst).


Om masterstudiet i matematikk med "Operator algebraer" som spesialisering.

For å kunne skrive en masteroppgave innenfor feltet Operator algebraer, må man ha fullført bachelorgraden i Matematikk, Informatikk og Teknologi, med studieretningen i matematikk.

Deretter må følgende emner taes i løpet av mastersudiet:

MAT 3500 / MAT 4500 (Topologi), MAT 3300 / MAT 4300 (Mål- og integrasjonsteori),
MAT 4340 (Elementær funksjonalanalyse), MAT 4350 (Funksjonalanalyse) ,
MAT 4360 (C*-algebraer).

Det anbefales at man tar sikte på å skrive en kort masteroppgave (30 studiepoeng), da det vil være vanskelig å begynne på en lang oppgave (60 studiepoeng) tidlig i studiet, før man har tilegnet seg de nødvendige forkunnskapene som emnene ovenfor vil gi. Det vil ellers være en fordel med en bred bakgrunn i matematikk. Emner i partielle differensialligninger og Fourier analyse vil være nyttige, men nær sagt alle andre emner i matematikk kan velges til å fylle opp emnekvoten for mastergraden. Emner i fysikk, spesielt kvantemekanikk, kan også være relevante.