Department of Mathematics, University of Oslo
Seminar in Algebra and Algebraic Geometry, Autumn 2004

[back to seminar-programme]

Abstracts:


Arne B. Sletsjøe, 6. September

Geometri av indekomposable moduler

Vi kan betrakte de endelig-dimensjonale representasjonene til en assossiativ k-algebra som den ikke-kommutative geometrien til algebraen. Vi skal studere denne geometrien for relativt enkle algebraer, slik som ikke-kommutative modeller for plane kurver. Spesielt er vi interessert i hvordan de indekomposable modulene kan komplettere skjemaet av simple moduler. [back to contents]

Kristian Ranestad, 13. September

Konveksitet for linjer

Kan en definere en konveksitet for linjer som er analog med konveksitet for punkter, slik at for eksempel den konvekse innhyldningen til to linjer i R^n blir en 1-parameter familie av linjer 'mellom' de to en startet med? [back to contents]

Kristian Ranestad, 20. September

Linje-arrangementer og Veroneseflater

Et linjearrangement er en endelig samling linjer i planet. Linjearrangementer av n linjer modulo projektiv ekvivalens danner en familie som kan kompaktifiseres på ulike måter. Jeg skal beskrive en slik kompaktifisering og ulike tilnærminger til denne. Dette er felles arbeid med Tom Graber. [back to contents]

Arvid Siqveland, 27. September

Lie algebraer av dimensjon 3

We consider Lie algebras of dimension 3 up to isomorphism. We construct the noncommutative affine spectrum of the isomorphism classes as a noncommutative $k$-algebra $\mathbb M$, using noncommutative deformation theory. This $k$-algebra is an example of a noncommutative structure. [back to contents]

Kristian Ranestad, 4. October

Phylogenetic algebraic geometry

Phylogenetic algebraic geometry is concerned with certain complex projective algebraic varieties derived from finite trees. Real positive points on these varieties represent probabilistic models of evolution. For small trees, we recover classical geometric objects, such as toric and determinantal varieties and their secant varieties, but larger trees lead to new and largely unexplored territory. I will give an introduction to this subject which offers numerous open problems for algebraic geometers. [back to contents]

Andreas Knutsen, 11. October

Noen resultater om Severivarieteter av nodale kurver på flater

For et lineært system $|C|$ på en glatt projektiv flate S, med generelt medlem en glatt irredusibel kurve, er Severivarieteten $V_{C, \delta}$ det lokalt lukkede underskjemaet av $|C|$ som parametriserer irredusible kurver med kun $\delta$ noder som singulariteter. Severi var den første som betraktet slike varieteter for plane kurver.
Jeg skal forsøke å gi en introduksjon til emnet og presentere generelle resultater for slike varieteter, om f.eks. dimensjon, glatthet, ikketomhet, på bestemte flater, samt adressere noen åpne spørsmål. [back to contents]

Andreas Knutsen, 18. October

Om varieteter som er unireglert av linjer

La X være en irredusibel ikkedegenerert varietet av dimensjon k og grad d i P^n. Klassisk vet man at d \geq n-k+1 og varietetene der likhet inntreffer er klassifisert.
Flere forfattere, som Fujita, har studert og klassifisert varieteter der 'differansen' d-(n-k+1), også kalt \Delta-genusen, er liten.
Mønsteret ser ut til å være at jo mindre graden er, jo flere rasjonale kurver finnes på varieteten. Man sier at en varietet er unireglert i grad m om den er overdekt av en familie rasjonale kurver av grad \leq m.
Jeg skal i seminaret fortelle om følgende resultat (felles med C. Novelli og A. Sarti): For d < 2(n-k)-4 og (k,d,n) \not = (3,27,19) er X unireglert av linjer.
Resultatet er optimalt for k=3 og vises ved nettopp å ta utgangspunkt i k=3 og så bruke induksjon på k. Beviset i tilfellet k=3 benytter seg av minimal modell programmet for trefoldigheter. [back to contents]

Silke Lekaus, 8. November

On generalizations of the Albanese variety

We look at generalizations of the classical Albanese variety (given by Faltings and Wuestholz for open varieties and by Esnault, Srinivas and Viehweg for projective, singular varieties) and the relation between these. [back to contents]

Angelo Lopez, 22. November

On the Euler number of threefolds of Calabi-Yau and of general type and applications

Let $X \subset \PP^N$ be a threefold of Calabi-Yau or of general type (embedded with $rK_X, r \geq 1$ in the latter case). We give upper and lower bounds for the Euler number of $X$ that are linear in the degree of $X$. Somewhat surprising applications to the Chern ratios of a threefold with ample canonical bundle and to the maximum number of nodes of a complete intersection threefold follow. [back to contents]

George Hitching, 24. November

Moduli of rank 4 symplectic bundles over a curve of genus

There are several moduli spaces of semistable vector bundles over curves of low genus which have been described using extension spaces of bundles of lower rank. We give some examples. Then we consider symplectic vector bundles, and give a method of constructing them as extensions. We describe work in progress on a description as above of the moduli space of semistable symplectic vector bundles of rank 4 over a curve of genus 2. [back to contents]

Dan Laksov, 6. Decemebr

Determinantformelen for ytre produkter av polynomringer

Jeg skal vise at ytre produktet \wedge^nA[X] tatt n-ganger av polynomringen A[X] i en variabel X over en vilkaarlig ring A har en naturlig struktur som modul over symmetriske polynomer i n-variable. Dette tilsvarer Pieri's formel i geometrien. Med denne strukturen skal jeg vise en determinantformel som ligger i grenselandet mellom geometri, algebra, og kombinatorikk. Blandt annet gir den determinantformelen for Schubert skjemaer i geometrien og hovedresultatene i teorien for alternerende funksjoner, inklusive Jacobi-Trudi formelen. [back to contents]