Department of Mathematics, University of Oslo
Seminar in Algebra and Algebraic Geometry, Autumn 2005

[back to seminar-programme]

Abstracts:


George Hitching, 22. August

Quartic equations and 2-division on elliptic curves

Let C be an elliptic curve over a field K and Q a point of C. To 'divide Q by 2' in the algebraic group C, one must solve a certain quartic equation over K. We characterise the quartics which arise in this process, and also those which can be deformed into such a '2-division quartic' in a natural way. We study the singular degenerations of such data, and describe work in progress on an application.
This talk is based on my M. Sc. thesis, supervised by Miles Reid in 2001. [back to contents]

Andreas Gathmann, 12. September

Tropical WDVV equations and a tropical Kontsevich formula

Using Gromov-Witten theory the numbers of complex plane rational curves of degree d through 3d-1 general given points can be computed recursively with Kontsevich's formula that follows from the so-called WDVV equations. The goal of this talk is to establish the same results in the language of tropical geometry. [back to contents]

Oliver Labs, 19. September

New Hypersurfaces with Many $A_j$-Singularities and Related Reality Questions

We describe a construction of surfaces of degree $d$ in $\mathbb{P}^3(\mathbb{C})$ with approximately ${3j+2 \over 6j(j+1)} d^3$ singularities of type $A_j, 2 \le j \le d-1$, using the so-called Dessins d'Enfants. Our examples improve the previously known lower bounds for the maximum number $\mu_{A_j}(d)$ of $A_j$-singularities on a surface of degree $d$ in most cases.
There are many interesting reality questions related to surfaces with many singularities and in particular to the construction above. We mention some of them; e.g., we confirm a conjecture of Chmutov on an upper bound in a special case using two-colorings of real simple line arrangements. [back to contents]

Jan Kleppe, 26. September

Hilbert funksjoner og graderte Betti tall og litt om deres strata i Hilbertskjemaet av punkter i P^n

La A = \sum A_i være en gradert kvotient av en polynomring R over k, og la H_A(i) = \dim A_i (hhv. p_A(i) ) være Hilbert funksjonen (hhv. Hilbertpolynomet).
(i) Vi karakteriserer alle funksjoner f definert over de naturlige tallene som er lik H_A for passende A (de er gitt som en 'O-sekvens'; Macaulay, Gotzmann).
(ii) Videre karakteriserer vi alle slike f som er lik H_A for passende A hvor X = \Proj(A) er et redusert skjema (Geramita et al).
Beviset for (ii) er langt på vei en algoritme. Når dim X = 0 får vi et redusert skjema av forskjellig punkter med homogen koordinatring A. I dette tilfellet viser det seg at Betti-tallene b_{i,j} = b_{i,j}(A) i den fri resolusjonen ..F_2 -> F_1 -> R -> A, F_i = \sum b_{i,j} R(-j), alle er maksimale, dvs.
(iii) b_{i,j}(A) \geq b_{i,j}(A')
for alle (i,j) og alle kvotienter A' med samme Hilbert funksjon som A (et ikke-trivielt resultat fordi semikontinuitet gir langt mindre). Når n \geq 3 så finnes ikke alltid et 'felles' minimum for alle Betti-tallene. Hvis GradAlg(H_A) (= 'postulation Hilbert scheme') er det stratumet av Hilbertskjemaet Hilb(p_X) som består av X=\Proj(A) med samme Hilbert funksjon, så vil forskjellige 'inkomparable' minima av Betti-sekvensene gi forskjellige irredusible komponenter i GradAlg(H_A). Det motsatte gjelder ikke for det finnes forskjellige irredusible komponenter av GradAlg(H_A) hvor de generelle medlemmene har nøyaktig de samme minimale Betti-tallene. [back to contents]

Cristiano Bocci, 17. October

Triple points imposing triple divisors and defective hierarchy

Let P be a generic point on a surface X in P^n, n>=6. We classify surfaces such that the system of hyperplane sections which have a triple point at P consists of divisors having a triple component. Then we introduce the concept of sub-defectivity and we show an unexpected link the previous classification [back to contents]

Johannes Kleppe, 31. October

Additive splittings of homogeneous polynomials

In this talk I will speak about my work in my phd thesis. (Mostly chapter 3 to be exact.) Let f be a homogeneous polynomial of degree d in r variables. After giving some basic definitions (in particular of M_f and the term 'additive splitting'), I will prove one of the main theorems there, namely that the complete sets of orthogonal idempotents in M_f are in bijection with the regular splittings of f (if ann(f) = 0, otherwise a refinement is needed). Furthermore, if f = g_1 + ... + g_n is one such regular splitting, then the sets M_{g_i} are naturally determined by M_f.
Next I will consider the minimal resolution of the Artinian Gorenstein quotient R/ann(f). If f = g_1 + ... + g_n is a regular splitting of f, I will show/explain how the graded betti numbers of R/ann(f) can be obtained from the graded betti numbers of R/ann(g_i) for all i. (In fact, they are additive in a certain sense, except there is an easily determined extra contribution.)
Finally I want to explain some consequences for the parameter space. The space PGor(H) parametrizes all Artinian Gorenstein quotients R/ann(f) having Hilbert function H. Given an n-tuple H* = (H_1, \dots, H_n) I will give some conditions that assure that the closure of
PSplit(H*) = \{ R/ann(f) such that:
f splits as g_1 + ... + g_n and the Hilbert function of R/ann(g_i) is H_i for all i \}
is a irreducible component of PGor(H), and that PGor(H) is smooth along some non-empty open subset of PSplit(H*).
This part generalizes some work by Iarrobino and Srinivasan: Theorem 3.11 in 'Artinian Gorenstein algebras of embedding dimension four: Components of PGor(H) for H = (1,4,7,...,1).'
Well, as much as time permits. [back to contents]

Gunnar Fløystad, 7. November

Berikete homologi og kohomologimoduler til simplisielle- og cellekomplekser

For simplisielle komplekser på mengden {1,2, ..., n} definerer vi berikete homologi og kohomologimoduler. Disse er graderte moduler over polynomringen S=k[x_1, ..., x_n].
1. Vi setter betingelser på disse modulene, som f.eks. at de skal forsvinne, og viser hvordan dette svarer til topologiske og kombinatoriske betingelser på det simplisielle komplekset.
2. Vi diskuterer hvordan disse modulene er relatert til Stanley-Reisner ringen til det simplisielle komplekset.
3. Mer generelt, for cellekomplekser som oppfyller visse kombinatoriske betingelser (som f.eks. polyhedriske komplekser), kan man definere de beriket modulene. Vi viser bl.a. hvordan man da kan få en omfattende generalisering av et klassisk resultat innen kombinatorisk geometri, Balinskis teorem, som sier at 1-skjelettet til en konveks polytop av dimensjon d er en d-sammhengende graf. [back to contents]

Martin Gulbrandsen, 21. November

Birasjonale symplektiske varieteter

For symplektiske varieteter er birasjonal ekvivalens svært sterkt, i den grad at det er høyst delikat å avgjøre om to birasjonale symplektiske varieteter faktisk ikke er isomorfe. Et av de mest slående resultater i denne retning, av Huybrechts, er at to birasjonale symplektiske varieteter er deformasjonsekvivalente. Spesielt er de diffeomorfe. Vi vil diskutere resultater av denne typen og se på Mukai's elementære transformasjoner, som gir ikke-trivielle eksempler på birasjonale ekvivalenser. [back to contents]

Runar Ile, 28. November

Refleksive moduler på normale flatesingulariteter og representasjoner av den lokale fundamentalgruppen

Bernstein, Gelfand og Gelfand viste i 1972 at ringen av differensialoperatorer på kjeglen over Fermat-kubikken ikke er endeliggenerert. På tross av dette viser vi en Riemann-Hilbert-korrespondanse for refleksive moduler på normale flatesingulariteter: Kategorien av endeligdimensjonale representasjoner av den lokale fundamentalgruppen er ekvivalent med kategorien av refleksive moduler med konneksjon, og ekvivalent med kategorien av D-modulstrukturer på refleksive moduler. Vi gir også en karakterisering av de profinite representasjonene og viser at fundamentalmodulen på X er profinit hvis og bare hvis X er en kvotientsingularitet. Dette er fellesarbeid med Trond Gustavsen. [back to contents]

Sandra di Rocco, 5. December

Some correspondences between toric varieties and convex polytopes

Projective non singular toric varieties are in 1-1 correspondence with Delzant (regular) convex integral polytopes. We will illustrate this correspondence for two subclasses of toric vareties: embeddings of order at least two and embeddings with degenerate dual variety. [back to contents]

Dan Laksov, 6. December

Faktoriseringsalgebraer og Hilbert-skjemaet for punkter på linjen

Vi viser at koordinatringen for Hilbert-skjemaet for punkter på linjen er gitt av samme faktoriseringsalgebra som gir kohomologiringen for grassmenn. [back to contents]

Ulf Persson, 7. December

Kubiska Galois utvidgningar över de rationella talen

För icke-kvadratiska kroppsutvidgningar är det svårt att finna normaliserade ekvationer och därmed avgöra när två ekvationer bestämmer samma kropp. Detta problem presenteras för kubiska galoisutvidgningar vilka vi har en oändlig följd x^3-3x+1, x^3-7x+7, x^3-13x+13, x^3-19x+19,.. av icke ekvivalenta utvidgningar. Denna serie kan förklaras med den unika primtalsfaktoriseringen i Q(q) där q^ 3=1. De olika utvidgningarna är även intimt relaterade till enhetsrötter. [back to contents]

Trygve Johnsen, 12. December

Rational curves on hypersurfaces in projective space

We study some recent work on finiteness/existence of rational curves on general hypersurfaces of some fixed degrees in given projective spaces. [back to contents]