[UiO] [Ifi]
IN-INVPAR

Inverse Problemer og Analyse av Funksjonale Data

KURSET GÅR SOM INTENSIVKURS HØSTEN 1998! FØRSTE FORELESNING 2. NOVEMBER

Kort om kurset

IN-INVPAR er et 5-ukers seminar om inverse problemer og analyse av funksjonale data. Formelt kan vi representere slike problemer som likninger på formen I praktiske problemer vil y svært ofte være beheftet med usikkerhet eller feil. Dette kan komme av unøyaktige måleinstrumenter, eller fordi det ikke helt er mulig å skille det vi ønsker å måle fra andre fenomener (se eksempler nedenfor). Vi må ta hensyn til tre forhold: Når ingen av disse forholdene inntrer, har vi eksistens, entydighet og stabilitet av løsningen, og problemet kalles velstilt. Dette er helst ønskesituasjonen (selv om det fortsatt kan være meget vanskelig å løse problemet!). Som oftest prøver vi å finne en "god løsning" ved å regularisere. Vi gjør visse antagelser om problemets (og løsningens) natur, og bruker disse for å løse oppgaven. I seminaret konsentrerer vi oss om lineære inverse problemer (T ovenfor lineær). Lineær regresjon og løsning av likningssystemer Ax = b er spesialtilfeller for teorien, og dukker opp i det "diskrete tilfellet" der vektorrommene er euklidske. Mer generelt kan T være en lineær operator på et Hilbert-rom.

  • Hovedmål for kurset: Presentere et matematisk rammeverk for å studere kontinuelige og diskrete inverse problemer.

    Pensum

    For å kunne håndtere lineæroperatorer på Hilbert-rom vil det bli gitt en innføring i funksjonalanalyse. Deretter presenteres et utvalg av løsningsteknikker for inverse problemer. Pensum vil blant annet inneholde

  • Singulærverdi-dekomposisjon og ekspansjon (SVD og SVE)
  • Straffede og begrensede LSQ-problemer
  • Ridge-regresjon
  • Tikhonov-regularisering og trunkert singulærverdi ekspansjon
  • Maksimum-entropi metoden og Backus-Gilberts metode.
  • Diskretiseringsmetoder

    Under seminaret trekkes paralleller med statistisk basert parameter- estimering for dårlig kondisjonerte problemer (prinsipal komponent regresjon, partial least squares regresjon og andre).

    Eksempler på anvendelser

    • fra fysikk: vi ønsker å måle temperaturen til et objekt fra en viss avstand (ved å se på utsendt stråling fra objektet). I praksis kan det være vanskelig å separere fullstendig strålingen som kommer fra måleobjektet fra annen stråling i omgivelsene - dermed får vi introdusert en feil allerede før strålingen kommer fram til måleinstrumentet. I tillegg kan måleinstrumentet være unøyaktig.
    Det vil bli gitt eksempler på problemer innenfor bl.a. geologi, mekanikk og bildebehandling som leder til lineære inverse problemer (i form av lineære integrallikninger). Mange andre eksempler vil bli nevnt. Det vil også bli gitt eksempler på inverse problemer i form av parameter- identifikasjon i dynamiske modeller (bl.a. populasjonsmodeller og kompartment analyse).

    Forelesninger

    Foreleser: Tobias Dahl (tobias@ifi.uio.no)
    Sted: seminarrom 3C, informatikkbygningen
    Tider: mandag 9-12 og torsdag 12-14
    Første gang: mandag 2. november.

    Kursinformasjon

    Obligatorisk oppgave Ukeoppgave + Obligdel
    Pensumlitteraturen (kompendium)
    Forelesningsplanen

  • Interesserte oppfordres til å kontakte foreleser via mail. Legg gjerne ved en kort notis om bakgrunn og fagfelt.

    Programvare

    Programpakken Regularization Tools er tilgjengelig i Matlab V4.2 (foreløpig ikke versjon 5). Hjelp fås ved å skrive "help regutools" og "regudemo" i Matlab. Postscript dokumentasjonen finner dere her.

    Eksamen

    Muntlig etter avtale med studentene
    Denne siden ble sist endret 17. november 1998