SUP arbeidsseminar i klassekropp-teori, høsten 2004  
 


Klassekropp-teori handler i store trekk om abelske utvidelser av lokale og globale tallkropper.

Til en lokal eller global kropp F kan vi tilordne en maksimal abelsk utvidelse Fab.

Videre kan vi betrakte Galois-gruppen

Gal(Fab/F).

Klassekropp-teori identifiserer denne gruppen med aritmetiske invarianter til F.

I det lokale tilfellet er identifikasjonen bestemt av enhetene til F.

For globale tallkropper ser man på idele klasse-gruppen til F.


Galois-gruppen Gal(Fab/F) er et eksempel på en pro-endelig gruppe

lim Gal(E/F).

I grensesystemet gjennomløper E alle endelige abelske utvidelser av F.

Neukirchs aksiomatiske framstilling av klassekropp-teori bruker denne beskrivelsen av Galois-gruppen til å gi et felles gruppe-kohomologisk grunnlag for lokal og global klassekropp-teori.


Forelesningene følger læreboka

  • Neukirch, J.: Class field theory

    Store deler av stoffet i læreboka er fritt tilgjengelig i form av forelesningsnotater på hjemmesiden

  • Milne, J.S.: www.jmilne.org/math/


    Et utvalg støttelitteratur

  • Cassels, J.W.S, Fröhlich, A. (Eds.): Algebraic number theory

  • Kedlaya, K.: Forelesningsnotater (takk til Kiran)

  • Neukrich, J.: Neubegründung der Klassenkörpertheorie

  • Neukirch, J.: Algebraische Zahlentheorie

  • Neukirch, J.: Algebraic number theory

  • Swinnerton-Dyer, H.P.F.: A Brief Guide to Algebraic Number Theory


    Tentativt program

    9.september Paul Arne Østvær Introduksjon.
    16.september Paul Arne Østvær Lokale og globale tallkropper, idealer, dekomposisjonsgrupper, ramifikasjon, absoluttverdier, produktformelen, kompletteringer.
    30. september Sverre Lunøe-Nielsen Kohomologi av endelige grupper; eksempler med sykliske grupper og induserte moduler, heltalls-koeffisienter, Herbrand-kvotienter, Hilberts Teorem 90, Kummer-teori.
    7.oktober Tore Kro Galois-teori for uendelige kroppsutvidelser; med eksempler, kohomologi av pro-endelige grupper.
    14.oktober Halvard Fausk Abstrakt klassekropp-teori, I: Frobenius elementer, Hensel valuasjoner, resiprositetsavbildningen, naturlighet under transfer avbildninger, resiprositetsloven.
    21.oktober Trond Gustavsen Abstrakt klassekropp-teori, II: Klassekropper, resiprositetsloven for uendelige utvidelser.
    28.oktober Silke Lekaus Lokal klassekropp-teori, lokale norm residue symboler.
    4.november Silke Lekaus Kronecker-Weber teoremet.
    Arvid Siqveland Adeler og ideler, kohomologiske egenskaper, første og andre ulikhet.
    11.november Arvid Siqveland Adeler og ideler, kohomologiske egenskaper, første og andre ulikhet.
    18.november Christian Schlichtkrull Adeler og ideler, kohomologiske egenskaper, første og andre ulikhet.
    2.desember John Rognes Artins resiprositetssats.
    9.desember Paul Arne Østvær Hilbert symboler, resiprositetslover.


    Oppdatert 9. desember, 2004.