Geometri og Topologi

- Masterstudiet i Matematikk ved UiO

Hva er "Geometri og Topologi" ?

Mennesker har lenge interessert seg for egenskaper til geometriske figurer. I geometri er man ofte interessert i begreper som avstand, vinkel, areal og volum. Topologer studerer gjerne kvalitative egenskaper til geometriske rom. Etterhvert som matematikken har utviklet seg har geometri og topologi vokst til et aktivt forskningsområde med forbindelser til fysikk og mange andre deler av matematikken. Algebraisk topologi har en sentral rolle i dette fagfeltet. Matematisk institutt ved UiO har en aktiv forskningsgruppe i geometri og topologi. På denne siden finner du en presentasjon av gruppens medlemmer og noen forslag til masteroppgaver. Vi anbefaler at du ser på gruppens hjemmeside for informasjon om våre forskningsaktiviteter. Topology Atlas inneholder en del nyttig informasjon om geometri og topologi. Algebraic Topology Discussion List, Hopf Topology Archive og K-theory Preprint Archives er nettsider med mer forskningsrettet innhold.

De fast ansatte i Geometri og Topologi gruppen er:

Hans Brodersen. Brodersens hovedinteresse er singularitetsteori for differensiable avbildninger og avbildningskimer. Dette forskningsfeltet har bakgrunn i banebrytende arbeider av Hassler Whitney, Rene Thom og John Mather fra 1950 og 60-tallet. En betrakter mengden av differensiable avbildninger mellom mangfoldigheter. Et hovedproblem er å kunne klassifisere og gi normalformer for singulariteter til en så stor delmengde av slike avbildninger at enhver annen avbildning også kan approksimeres av avbildninger fra denne delmengden. Sentralt i denne problemstillingen er å avgjøre om avbildninger er endelig bestemte, som i en viss forstand betyr at et endelig utsnitt av Taylorrekka til avbildningen bestemmer singularitetene og geometrien til avbildningen rundt et gitt punkt. Brodersen har vært opptatt av et tilsvarende begrep, uendelig-bestemthet, der en istedet betrakter hele den formelle Taylorrekka til en avbildning. Brodersen har særlig arbeidet med å finne nødvendige og tilstrekkelige kriterier for når geometrien til en avbildning på en tilsvarende måte er bestemt av hele Taylorrekka.

Per Holm (emeritert). Holm arbeider i (differensial-) topologi - et område i snittet mellom geometri og analyse - spesielt med differensiable avbildninger og deres singulariteter. Topologi har i nyere tid fått stor anvendelse i moderne såvel som klassisk fysikk. Yang-Mills teori gir et eksempel fra moderne fysikk der metodene har gitt uttelling også i matematikk. Bølger i anisotrope media er et interessant anvendelsesområde fra klassisk fysikk. Sentralt i topologi står studiet av mangfoldigheter (lokal euklidsk rom). Strukturen av disse bestemmes i større eller mindre grad av de systemer av differensiable funksjoner de bærer. Et mer nyansert studium tar hensym til eventuell ekstra struktur, så som symmetri (i form av gruppevirkninger), riemannske metrikker og konneksjoner. Differensiable avbildninger og felter kan ofte bestemmes ved prototyper i det generiske tilfellet. Det viktigste verktøyet her er transversalitetsteorien. Holm har kontakt og samarbeidet med kolleger i utlandet, særlig ved University of California i Berkely.

Bjørn Jahren. Jahren arbeider med algebraisk topologi og algebraisk K-teori. I algebraisk topologi søker en å oversette problemer i topologi til problemer i algebra. På en annen side kan man også konstruere topologiske rom utfra algebraiske strukturer - såkalte klassifiserende rom. Man kan si at algebraisk K-teori består i å bruke metoder fra algebraisk topologi på slike rom. Dermed oppstår et felt med helt nye interaksjoner mellom algebra og topologi. Særlig interessant blir det når disse metodene anvendes på strukturer som er algebraiske bare opp til homotopi. Da får man såkalt A-teori, med viktige anvendelser bl.a. på diffeomorfismegrupper til mangfoldigheter.

Jon Reed. Reed er mest interessert i geometrisk og algebraisk topologi. På dette området har han arbeidet en del med differensiale mangfoldigheter og kohomologi. Et interesseoråde er også geometriske egenskaper ved differensiallikninger. Av anvendt matematikk har han arbeidet med modeller for evolusjon og stabilitet i biologi.

John Rognes. Rognes arbeider med algebraisk topologi og algebraisk K-teori, med forgreninger til geometrisk topologi, algebraisk geometri og tallteori. Geometriske spørsmål om kontinuerlige eller differensiable symmetrier av høy-dimensjonale mangfoldigheter kan besvares ved hjelp av algebraisk K-teori av ring-spektra. For eksempel er alle de stive symmetriene av en sfære gitt ved ortogonale rotasjoner, men det finnes en mye større gruppe av myke symmetrier. Algebraisk K-teori er en videreutviklet form for lineær algebra og tallteori, mens ring-spektra er algebraisk-topologiske utvidelser av ringbegrepet, også kjent som "vidunderlige nye ringer". Rognes er opptatt av å studere slik algebraisk K-teori gjennom mer effektivt beregnbare invarianter, som topologisk syklisk homologi, og å forstå disse beregningene konseptuelt ved å tenke algebraisk-geometrisk på de nye ringene som ringer av funksjoner på nye geometriske objekter. Han leder et strategisk universitetsprogram i ren matematikk (SUP/Suprema) i perioden 2003 - 2006, og et yngre fremragende forskere program (YFF/Brave New Rings) i perioden 2005 - 2009. Samlet deltar 5 postdoktorer og 5 gjesteforskere/professorer i disse programmene, innen algebraisk topologi.

Per Tomter. Tomter har konsentrert sin forskning om tre hovedområder: