Vidunderlige Nye Ringer
Geometrisk topologi - Matematisk fysikk - Tallteori

Innledning

Undertegnede vil med dette foreslå at det i det akademiske år 2006-2007 organiseres et forskningsår i ren matematikk ved Senter for grunnforskning ved Det Norske Videnskaps-Akademi, fokusert på studiet av objektene som populært kalles "vidunderlige nye ringer", eller mer formelt "S-algebraer". Programmet vil samle ledende norske og internasjonale forskere i geometri og topologi til en koordinert innsats i dette aktive og aktuelle emnet. Programmets engelsk-språklige tittel vil være "Brave New Rings".

1. Forskningsfeltets plassering

Studiet av "vidunderlige nye ringer" knytter sammen ideer og resultater fra flere ulike deler av matematikken. Dets tekniske fundament ligger innen algebraisk topologi, mer presist innen stabil homotopi-teori. Men strukturene som studeres kan enklest oppfattes som generaliseringer av ring-begrepet i algebra og algebraisk geometri, og det er fruktbart å studere hvordan kjente konstruksjoner og fenomener i algebra kan berikes til denne algebraisk-topologiske situasjonen. Utviklingen av teorien for "vidunderlige nye ringer" er historisk motivert av konkrete anvendelser i nærliggende områder i matematikken, så som studiet av topologiske og differensiable symmetri-grupper av mangfoldigheter i geometrisk topologi (Waldhausen). Dette kan oppfattes som en videreføring av Sophus Lies klassiske teori. Utviklingen er også i ettertid blitt ytterligere berettiget gjennom nye anvendelser til videre områder, så som konstruksjoner av Wittens genus for streng-mangfoldigheter (Ando-Hopkins-Strickland), og av konforme kvante-felt teorier (Segal, Baas-Dundas-Rognes) i matematisk fysikk/streng-teori, og en forbedring av teorien for (elliptiske) modulære former i tallteori (Borcherds, Hopkins-Mahowald-Miller). En tilsvarende utvikling er mulig for K3-flater eller høyere-dimensjonale Calabi-Yau mangfoldigheter over endelige kropper. Flere av disse anvendelsene baserer seg på teknikker fra algebraisk K-teori. Det foreslåtte emnet er derfor helt sentralt for moderne grunnforskning i geometriske og topologiske emner med algebraisk tilsnitt. En lett popularisert fremstilling av emnets utvikling og potensiale kan finnes på nettadressen http://www.math.uio.no/~rognes/papers/vnr.dvi .

2. Historisk bakgrunn

2.1. Spektra i stabil homotopi-teori

Geometri/topologi en den delen av matematikken som handler om romlige objekter som har en slags form, mens algebra handler om objekter som gis struktur gjennom operasjoner. For eksempel kan de reelle tallene (desimaltallene) oppfattes topologisk som punkter på en linje, eller algebraisk som elementer som kan adderes, multipliseres osv. I sin klassiske form (fra Poincaré i det 19. århundre til midten av det 20. århundre) spenner algebraisk topologi mellom disse to synspunktene, ved å gi mening til måter å omskape topologiske objekter og spørsmål til algebraiske objekter og spørsmål. Teoribyggingen danner altså et algebraisk bilde av en topologisk problemstilling, som ofte gjør at et geometrisk/topologisk resultat kan bevises med algebraiske metoder.

For å analysere denne situasjonen nærmere er det naturlig å undersøke hvilken informasjon som går tapt i overgangen fra topologi til algebra, eller kanskje snarere hvilken informasjon som bevares. Denne undersøkelsen finner sted i det del-emnet av algebraisk topologi som kalles stabil homotopi-teori. Av hvert topologisk objekt, eller rom, bevares en struktur som kalles et spektrum, og stabil homotopi-teori er studiet av slike topologiske spektra. (Dette ordet brukes også i algebraisk geometri og i analyse, men da med to andre betydninger!)

Teorien for spektra ble utviklet av John Henry Constance Whitehead og Ed Brown kort etter 1960, og plassert i en naturlig kontekst --- den stabile homotopi-kategorien --- av Mike Boardman midt på 1960-tallet. Det var da klart at spektra kunne oppfattes som generaliserte abelske grupper, dvs. tallsystemer der man kan addere og subtrahere. I algebraisk forstand er abelske grupper moduler over ringen Z av de hele tall, som er det mest fundamentale tallsystemet i algebraisk forstand. Vi sier at abelske grupper er Z-moduler. Blant topologiske spektra finnes det et enda mer fundamentalt tallsystem, som kalles sfære-spekteret S. Det er bygget opp fra alle høyere-dimensjonale sfærer i Euklidiske rom, derav navnet. Boardmans spektra kan oppfattes som moduler over sfærespekteret S, og kan derfor kalles S-moduler.

2.2. Ringer og ring-spektra

Men store deler av algebra, deriblant algebraisk geometri, handler om rikere algebraiske strukturer enn bare abelske grupper (med addisjon og subtraksjon). Et tallsystem der man også kan multiplisere elementer sammen kalles en ring, og svært mye algebra handler om moduler og algebraer som er definert over ringer. Definisjonen av disse begrepene i algebra er knyttet til konstruksjonen av et såkalt tensor-produkt av abelske grupper. F.eks. er multiplikasjonen i en ring R en avbildning fra tensor-produktet av to kopier av R, til R igjen.

Den tilsvarende konstruksjonen for topologiske spektra kalles smash-produktet av spektra. Dette produktet var tilgjengelig allerede i Boardmans stabile homotopi-kategori, som popularisert av J. Frank Adams, men bare i en forholdsvis svak forstand. Slik smash-produktet av spektra da ble konstruert kunne den assosiative lov (ab)c = a(bc) bare oppfylles opp til en viss usikkerhet. Denne usikkerheten var ikke synlig i det algebraiske bildet, og hadde derfor liten innvirkning på de algebraiske metodene som brukes i algebraisk topologi. Men usikkerheten var reelt til stede på den topologiske siden, og syntes å være uunngåelig. Dette gjorde det svært vanskelig å løfte finere algebraisk struktur enn abelske grupper til den topologiske kategorien. For eksempel kunne man ikke på en meningsfylt måte snakke om invariantene for en gruppe-virkning på et spektrum. Dette ville svare til studiet av invariant-ringer i klassisk algebra.

På 1970- og 1980-tallet var det likevel klart innen stabil homotopi-teori at det var ønskelig å kunne snakke om ring-spektra, og moduler og algebraer over slike, i den topologiske konteksten. En til dels meget kompleks teori for såkalte A-uendelig og E-uendelig ring spektra, og deres moduler, ble utviklet av miljøet omkring J. Peter May i Chicago. Men denne teorien lot seg likevel ikke utvikle så langt at den strakk til for de ønskede anvendelsene.

For eksempel studerte Friedhelm Waldhausen kontinuerlige og differensiable symmetrier av geometrisk-topologiske mangfoldigheter (kurver, flater og deres høyere-dimensjonale slektninger), på midten av 1970-tallet. Han ble ledet til å studere gruppe-ring-spekteret S[G] over sfære-spektret som er assosiert til den topologiske gruppen G av lukkede kurver på en slik mangfoldighet, og ønsket å benytte en teori for moduler over ring-spekteret S[G]. På dette stadiet var som sagt den generelle teorien utilstrekkelig, så Waldhausen fant en annen ad hoc definisjon av den teorien han trengte. Denne utgjør en generalisering av Dan Quillens algebraiske K-teori (Fields-medalje 1978), for tenkte moduler over slike ring-spektra. En lignende ad hoc konstruksjon ble gitt ca. 1985 av Marcel Bökstedt for topologisk Hochschild homologi, som løfter homologisk algebra for assosiative ringer og algebraer til den topologiske konteksten.

Men for andre tenkte anvendelser av ringer, moduler og algebraer i kategorien av topologiske spektra var det ikke klart hvordan dette skulle gjøres. Alan Robinson fant forholdsvis gode versjoner av tensor-produkter og homomorfi-grupper for moduler over assosiative (A-uendelig) ring-spektra midt på 1980-tallet, men kunne ikke håndtere moduler over kommutative (E-uendelig) ring-spektra. I et foredrag i 1988 introduserte Waldhausen navnet brave new rings (etter Shakespeare og Huxley, derav dette programforslagets tittel) for de topologiske ringene som man ønsket en slik teori for. Han så bl.a. for seg en homologisk algebra for slike vidunderlige nye ringer, som i det assosiative tilfellet ville gjenskape topologisk Hochschild (ko-)homologi, og som i det kommutative tilfellet ville gi en topologisk form for André-Quillen kohomologi, dvs. homologisk algebra for kommutative ringer og algebraer.

2.3. Vidunderlige nye ringer = S-algebraer

Det kom derfor som en stor overraskelse da det omkring 1995 ble lagt frem tre parallelle matematiske teorier som hver for seg konstruerte et drastisk forbedret topologisk smash-produkt for spektra, med like gode formelle egenskaper som det algebraiske tensor-produktet for abelske grupper.

Med dette ble programmet om å løfte og berike algebraiske teorier fra å være bygget på abelske grupper til å være bygget på topologiske spektra, forfremmet fra en samling heuristiske drømmer til et håndfast matematisk emne. I hver av de tre teoriene er det ett fundamentalt spektrum S som kalles sfærespekteret, et spektrum er det samme som en modul over sfærespekteret, dvs. en S-modul, og de (strukturerte) ring-spektrene man er interessert i å studere er algebraene over sfærespekteret, dvs. S-algebraer. En vidunderlig ny ring er derfor det samme som en S-algebra. Det nevnte programmet kan kalles studiet av "vidunderlige nye ringer", eller "S-algebraer", eller også "spectral algebra".

Siden tre konkurrerende teorier oppstod omtrent samtidig fulgte først et oppryddingsarbeid, der det ble vist at alle tre teoriene essensielt er likeverdige, dvs. at fenomenologien tilknyttet til begrepet S-algebra er den samme i hvert tilfelle. I tillegg til forfatterne nevnt ovenfor bidro særlig Stefan Schwede sterkt til dette arbeidet, som nå er å regne for nesten avsluttet. Hver av de tre parallelle teoriene er fortsatt legitimert, siden visse eksempler lettest opptrer, og visse konstruksjoner kan gjøres mest direkte, i bare en eller to av de tre formene.

3. Nyere utvikling

Siden 1990-tallet har dette programmet oppnådd en rekke suksesser, både internt i stabil homotopi-teori, i omkringliggende områder, og også i tilsynelatende fjernere deler av matematikken. Vi kan peke på i hvert fall fire viktige tråder i denne utviklingen, som ofte er flettet inn i hverandre.

3.1. Topologiske modulære former og K3-kohomologi

Hopkins og Haynes Miller utviklet ca. 1995 en obstruksjonsteori som kan avgjøre når et diagram av ring-spektra kommer fra et diagram av S-algebraer. Teorien ble presentert av Charles Rezk, og en tilsvarende teori for kommutative ring-spektra og kommutative S-algebraer blir nå presentert av Paul Goerss og Hopkins. En stor fordel med å ha et diagram av S-algebraer er at det da har en veldefinert grense, mens denne oftest ikke eksisterer for et diagram av ring-spektra. Ved å danne grensen av et slikt diagram oppstår en ny kommutativ S-algebra, og noen eksepsjonelt interessante slike "vidunderlige nye ringer" har bare blitt konstruert på denne måten. Dette er et meget generelt prinsipp, men det har vist seg å kunne anvendes i flere meget interessante situasjoner. For eksempel kan man på denne måten gi mening til invariantene for en gruppe-virkning på en S-algebra.

Som en anvendelse av denne teorien har Hopkins og Miller konstruert en variant av ringen av modulære former, som kalles topologiske modulære former og representeres av en kommutativ S-algebra tmf. Modulære former er sentrale objekter i tallteori, og inngår f.eks. i Taniyama-Shimura-Weil formodningen som Andrew Wiles delvis bekreftet for å bevise Fermats siste sats. De topologiske modulære formene avviker noe fra de klassiske ved primtallene 2 og 3, og er der i en forstand bedre enn de klassiske. For eksempel har Richard Borcherds (Fields-medalje 1998) vist at de modulære formene som opptrer som theta-funksjoner til jevne unimodulære gittere oppfyller visse kongruenser, som virker mystiske fra det klassiske perspektivet. Fra det "vidunderlige nye" perspektivet sier kongruensene ikke noe annet enn at disse theta-funksjonene kommer fra topologiske modulære former. Topologiske modulære former kan altså forklare dyp og aktuell tallteoretisk informasjon.

Samtidig er spekteret tmf et meget elegant og nyttig verktøy innen stabil homotopi-teori. Hopkins og Mahowald viste i 1998 at mesteparten av det som er kjent om 2- og 3-primære homotopi-grupper av sfærespekteret forholdsvis lett kan leses av fra kjent informasjon om tmf. Undertegnede holdt kurs i Oslo våren 1999 om dette emnet, for ansatte og en gruppe besøkende postdoktorander, før Mahowald besøkte Oslo en periode samme høst. I 2001 holdt undertegnede to liknende forelesningsrekker ved NTNU, og et nytt kurs i Oslo, om samme emne. Forskningsgruppene i topologi i Norge har derfor vært særdeles tidlig involvert i denne utviklingen. Topologiske modulære former er nå også internasjonalt et emne for flere konferanser, som ved Isaac Newton institute, Cambridge i desember 2002, og ved Universität Münster i oktober 2003.

Eksempelet med topologiske modulære former fremkommer ved å studere elliptiske kurver over endelige kropper. Det er andre mer komplekse algebro-geometriske objekter som kan studeres, og som ventes å gi opphav til enda mer subtile S-algebraer enn tmf. En elliptisk kurve kan identifiseres med sin Jacobi-varietet, som er en abelsk varietet og spesielt en 1-dimensjonal algebraisk gruppe, som igjen kan kompletteres til en 1-dimensjonal formell gruppe av "høyde" 1 eller 2. Går vi én geometrisk dimensjon opp, fra kurver til flater, er det en klasse flater som kalles K3-flater, som har tilordnede Brauer-grupper som deformasjons-teoretisk gir opphav til en innhyllende 1-dimensjonal formell gruppe, denne gang av høyde opp til 10 (Artin 1975, Artin-Mazur 1977). Spesielt symmetriske K3-flater (og slike finnes, med store simple Mathieu-grupper som automorfi-gruppe) gir opphav til diagrammer av slike formelle grupper, og det er rimelig å forvente at de universelle (Lubin-Tate) deformasjonene til disse formelle gruppene gir diagrammer av kommutative ring-spektra, som Goerss-Hopkins-Miller obstruksjonsteorien bør kunne avgjøre om eksisterer som diagrammer av kommutative S-algebraer. Slike kommutative S-algebraer kan kalles K3-kohomologi, og grensen av diagrammet vil være en universell K3-kohomologi. En slik teori kan trolig (bare) konstrueres og analyseres ved nå kjente topologiske metoder, og bør inneholde ekstremt subtil informasjon om "kromatiske" periodiske fenomener i stabil homotopi-teori som svarer til høyder opp til 10. Topologiske modulære former har gitt slik informasjon opp til høyde 2, og noe er kjent ved andre metoder for høyde 3 og 4, men K3-kohomologi synes å kunne revolusjonere detaljkunnskapen om spektra. Dette er naturlig nok et mulig arbeidsfelt for forskerne som planlegger å delta i dette prosjektet i 2006-2007.

Mer generelt vil Calabi-Yau n-foldigheter, gjennom en 1-dimensjonal formell gruppe avledet fra grad n kohomologi med koeffisienter i den multiplikative gruppen, kunne gi enda flere slike S-algebraer. Tilfellet n=1 svarer til elliptiske kurver, og n=2 til K3-flater, og det er nok mest realistisk på dette stadiet å forsøke å forstå disse tilfellene fullstendig, før man eventuelt går i gang med høyere-dimensjonale Calabi-Yau mangfoldigheter over endelige kropper.

Topologiske modulære former er også knyttet til streng-teori, gjennom arbeider i matematisk fysikk av Ed Witten (Fields-medalje 1990) og om S-algebraer av Matthew Ando, Hopkins og Neil Strickland. I klassisk kvantemekanikk spiller Dirac-operatoren mellom to spinor-bunter en viktig rolle. I streng-teori definerte Witten en tilsvarende operator for tenkte spinor-bunter over rommet av lukkede kurver i en såkalt streng-mangfoldighet, og assosierte en modulær form til denne, som kalles Witten-genuset til streng-mangfoldigheten. Denne heuristiske konstruksjonen er viktig for streng-teori, og ble gitt en matematisk presis og meget naturlig form i rammen av S-algebraer av Ando, Hopkins og Strickland.

3.2. Topologisk André-Quillen kohomologi

Teorien for vidunderlige nye ringer generaliserer den klassiske teorien for ringer, ved at hver ring R i algebraisk forstand gir opphav til en vidunderlig ny ring HR (som representerer singulær kohomologi med koeffisienter i R). Det er også mulig å gå den andre veien, fra en vidunderlig ny ring A til dens homotopigrupper oppfattet som en gradert ring i algebraisk forstand, men denne omvendte prosessen mister en del essensiell informasjon. Et verktøy for å holde rede på den tapte informasjonen kalles "k-invariantene" i Postnikov-tårnet til A, og disse holder til i visse såkalte kohomologi-grupper. For spektra eller S-moduler A er disse kohomologi-gruppene de klassiske singulære kohomologi-gruppene fra algebraisk topologi, mens for S-algebraer A er de riktige kohomologi-gruppene gitt ved topologisk Hochschild kohomologi, og for kommutative S-algebraer A lever k-invariantene i en teori som kalles topologisk André-Quillen kohomologi.

Denne siste teorien ble forespeilet av Waldhausen i 1988, og delvis utviklet i et preprint av Kriz. Med de nye rammeverkene for vidunderlige nye ringer har Chicago-studentene Maria Basterra og Mandell, samt Randy McCarthy og Vaughn Minasian etablert topologisk André-Quillen kohomologi som et effektivt verktøy. Robinson har arbeidet med en liknende obstruksjonsteori som Hopkins-Miller teorien fra 3.1, som ledet til det han kaller Gamma-kohomologi, som også er tett knyttet til topologisk André-Quillen kohomologi. Hans medarbeider Sarah Whitehouse, samt Teimuraz Pirashvili, Birgit Richter og Andy Baker har videreutviklet disse verktøyene, og kan nå på et systematisk "syntetisk" vis oppnå liknende resultater som de mer isolerte "naturlige" resultatene fra Hopkins-Miller teorien. Dette var f.eks. emnet for en konferanse organisert av Baker og Richter ved Glasgow University i januar 2002. En påfølgende konferanse om S-algebraer er planlagt organisert av Richter og Schwede ved Universität Bonn i September 2004, der undertegnede skal holde en forelesningsrekke.

Potensialet for disse "syntetiske" konstruksjonene er langt fra uttømt, og effektive teknikker for å bruke f.eks. naturlige operasjoner i topologisk André-Quillen kohomologi er ennå ikke særlig godt kartlagt. Ethvert videre arbeide om kommutative S-algebraer bør antageligvis også redegjøre for k-invariantene i denne kohomologi-teorien. Et berømt og nå lenge uløst problem, som bør angripes i denne konteksten, er om Brown-Peterson S-algebraene BP og BP<n> lar seg realisere som kommutative S-algebraer. Et positivt svar på dette problemet vil forenkle en rekke konseptuelle ideer i stabil homotopi-teori, bl.a. den kromatiske rød-forskyvningen som forklares i 3.3 nedenfor, og vil være et naturlig mål for forskningen under dette planlagte prosjektet.

Topologisk André-Quillen kohomologi kan naturlig brukes til å definere étale avbildninger og glatte avbildninger i kategorien av kommutative S-algebraer, som utvider de tilsvarende begrepene i algebraisk geometri. McCarthy og undertegnede har utviklet slike teorier uavhengig av hverandre, til dels motivert av ideer omkring de vidunderlige nye ringenes implikasjoner for étale og Galois-descent i algebraisk K-teori, som forklares i 3.3 nedenfor. Liknende ideer ble studert i det assosiative tilfellet av Schwede og Smith, samt av Andrei Lazarev.

3.3. Algebraisk K-teori og topologisk syklisk homologi

Som forklart ovenfor var Waldhausens teoremer om forbindelsen fra topologiske og differensiable symmetri-grupper av høy-dimensjonale mangfoldigheter, via høyere simpel homotopi-teori, til algebraisk K-teori av rom, en viktig motivasjon for utviklingen av det teoretiske fundamentet for vidunderlige nye ringer, alias S-algebraer. I dette området har også synspunktet om slike generaliserte ringer vært lenge kjent, og har motivert eller ledet til mange viktige resultater om algebraisk K-teori. Waldhausen skisserte på 1980-tallet et S-algebraisk argument for at stabil K-teori er lik topologisk Hochschild homologi, som ble forsøkt presisert av Roland Schwänzl, Ross Staffeldt og Rainer Vogt, men det da eksisterende tekniske grunnlaget gjorde dette vanskelig. Denne formodningen ble så bevist av Bjørn Dundas og McCarthy i 1992.

Parallelt utviklet Bökstedt, Wu-Chung Hsiang og Ib Madsen en topologisk syklisk homologi-teori, som essensielt er til topologisk Hochschild homologi som Connes' sykliske homologi (Fields-medalje 1982) er til klassisk Hochschild homologi. Bökstedt, Hsiang og Madsen brukte i 1993 topologisk syklisk homologi til å vise en K-teoretisk form av den kjente Novikov-formodningen, som handler om Waldhausens algebraiske K-teori av rom. Og i 1997 kunne McCarthy og Dundas bevise en formodning av Tom G. Goodwillie som sier at relativ algebraisk K-teori er lik relativ topologisk syklisk homologi, for passende utvidelser av S-algebraer. Dette argumentet var motivert både av ideene om vidunderlige nye ringer, og av Goodwillies "kalkulus" for homotopi-funktorer.

Disse resultatene åpnet for helt nye og presise beregninger av algebraisk K-teori, både for klassiske ringer og for S-algebraer. For eksempel kunne Bökstedt og Madsen i 1995 bevise Lichtenbaum-Quillen formodningen for algebraisk K-teori av p-lokale tallkropper, ved eksplisitt beregning for odde primtall p. Undertegnede viste i 1996 at dette resultatet også gjelder for p=2, før Voevodsky (Fields-medalje 2002), Weibel og undertegnede i 2000 etablerte Lichtenbaum-Quillen formodningen for algebraisk K-teori av både globale og lokale tallkropper ved p=2. (Også dette siste argumentet brukte S-algebraer fremfor klassiske ringer på et kritisk sted.) Disse beregningene i algebraisk K-teori av ringer har, takket være S-algebra perspektivet, kunnet mates tilbake i Waldhausens teori, og har gitt eksplisitt ny kunnskap om de tidligere nevnte symmetri-gruppene av høy-dimensjonale mangfoldigheter, så som sfærer og disker. Dette er altså en suksess-historie.

Lars Hesselholt og Madsen har ført disse beregningene langt videre i det algebraiske tilfellet, ved å utvikle en Grothendieck/Berthelot krystallinsk kohomologi, eller mer presist, et de Rham-Witt kompleks med logaritmiske poler, som lar dem beregne algebraisk K-teori for svært mange Henselske ringer og diskrete valuasjons-ringer. Denne empirisk velbegrunnede koblingen mellom topologisk syklisk homologi og krystallinsk kohomologi, som studert i nyere tid av f.eks. Gerd Faltings (Fields-medalje 1986), bør være av betydelig interesse, også innen (aritmetisk) algebraisk geometri.

Christian Ausoni og undertegnede har ført beregningene til Madsen et al videre i den topologiske retningen. Under hypotesen om at Brown-Peterson spekteret BP<n> er en kommutativ S-algebra (som er sant for n=0 og n=1, men en åpen formodning for større n, som nevnt i 3.2) beregnet de i 2002 den algebraiske K-teorien til denne vidunderlige nye ringen. Svaret demonstrerer et fascinerende nytt fenomen som knytter algebraisk K-teori til det såkalte kromatiske bildet av stabil homotopi-teori, der homotopi-teoretiske fenomener ordnes i periodiske familier etter voksende "bølgelengde", som er knyttet til høyde-begrepet for formelle grupper (som ble nevnt i 3.1). Fenomenet er en slags rød-forskyvning, omtrent som Hubbles oppdagelse i kosmologi, da algebraisk K-teori avbilder S-algebraer i den n-te periodiske familien til S-algebraer i den neste, (n+1)-te periodiske familien. (At bølgelengden vokser tilsvarer jo en rød-forskyvning i optisk forstand.)

Det vil være meget opplysende om Hesselholt og Madsens de Rham-Witt kompleks med logaritmiske poler, som brukes til å holde styr på bokføringen i beregningen av algebraisk K-teori i mange algebraiske tilfeller, også kunne overføres til den topologiske situasjonen, f.eks. for å systematisere og generalisere beregningene til Ausoni og undertegnede. Dette ville svare til utviklingen av et topologisk de Rham-Witt kompleks, som igjen er en instans av programmet med å berike algebraiske konstruksjoner til en topologisk situasjon. En konferanse i oktober 2003 ved Universität Münster berørte dette problemet, men arbeidet med å finne en slik topologisk krystallinsk kohomologi vil nok fortsatt være aktuelt også i 2006-2007.

I forbindelse med algebraisk K-teori, der Lichtenbaum-Quillen formodningen postulerer hvordan algebraisk K-teori oppfører seg i forhold til en Galois-utvidelse av kropper, eller mer generelt, i forhold til étale overdekninger av kommutative ringer eller skjemaer, er det også naturlig å analysere hvordan begrepene Galois-utvidelse og étale overdekning naturlig kan generaliseres til å gjelde for kommutative S-algebraer. Undertegnede har arbeidet med dette, og har presisert hvordan den berømte Lichtenbaum-Quillen formodningen kan utvides til den topologiske situasjonen. Dette gir på en side et rammeverk som begrunner mange av resultatene fra Hopkins-Miller teorien, f.eks. ved Jack Morava, Ethan Devinatz og Hopkins, og foreslår på en annen side hvordan algebraisk K-teori for kommutative S-algebraer best kan forstås ved hjelp av en topologisk generalisering av skjemaer som tilsvarer generaliseringen fra ringer til vidunderlige nye ringer. De kan kanskje kalles "vidunderlige nye skjemaer", eller S-skjemaer.

Ett interessant fenomen knyttet til Galois-utvidelser av kommutative S-algebraer er at mens man i klassisk aritmetikk forholder seg til globale kropper og lokale kropper, der lokal betyr konsentrert ved ett primtall p, så kan man for S-algebraer lokalisere uendelig mye finere, gjennom den allerede nevnte kromatiske filtrasjonen. For hvert primtall p er det for hvert naturlig tall n mulig å konsentrere seg om bare den n-te periodiske familien ved p, som gir det topologene kaller den Morava K(n)-lokale kategorien ved p. Detaljert informasjon om denne topologisk lokale situasjonen er gitt f.eks. av Hovey og Strickland. Det er rimelig å forvente at den klassiske klassekropp-teorien, som beskriver alle Galois-utvidelser med abelsk Galois-gruppe av lokale eller globale kropper, vil ha en gjenpart i en klassekropp-teori for slike abelske utvidelser av K(n)-lokale kommutative S-algebraer. Tilman Bauer, Strickland og undertegnede har undersøkt noen aspekter av en slik "vidunderlig ny klassekropp-teori", men igjen ligger de fullstendige resultatene nok i fremtiden.

3.4. Elliptisk kohomologi og streng-teori

Mellom sfærespekteret S og de hele tall Z finnes mange vidunderlige nye ringer, deriblant en som kalles ku og representerer kompleks topologisk K-teori. Akkurat som algebraisk K-teori av S er et tilfelle av Waldhausens K-teori av rom, som er knyttet til geometrisk topologi, og algebraisk K-teori av Z er knyttet til Bernoulli-tallene i algebraisk tallteori, så har Nils Baas, Dundas og undertegnede vist at algebraisk K-teori av ku også er knyttet til et annet matematisk emne, nemlig elliptisk kohomologi, elliptiske objekter og konforme kvantefelt-teorier, som tilhører strengteori og matematisk fysikk. Dette bygger på et tilfelle av Ausoni og undertegnedes beregninger fra 3.3, som essensielt sier at algebraisk K-teori av topologisk K-teori oppdager de homotopi-teoretiske fenomenene knyttet til de n-te periodiske familiene for n=2. Dette er en tidligere kjent egenskap for såkalte elliptiske kohomologi-teorier, så algebraisk K-teori av topologisk K-teori er en form for elliptisk kohomologi. Disse var sist emnet for en konferanse ved Isaac Newton institute, Cambridge i desember 2002.

Elliptiske kohomologi-teorier ble introdusert av Peter Landweber, Doug Ravenel og Bob Stong i 1986, og ble raskt knyttet til strengteori og modulære former. Segal redegjorde for denne utviklingen i et Bourbaki-seminar i 1988, der han også forutså eksistensen av såkalte "elliptiske objekter", som skal være geometrisk definerte objekter knyttet til et rom X, som på en side skal definere en konform kvantefelt-teori for strenger i X (dvs. kurver i X, som beveger seg over flater i X), og på en annen side skal svare til klasser i en elliptisk kohomologi-teori ved X. Arbeidene til Ausoni, Baas, Dundas og undertegnede viser at såkalte "2-vektorbunter" over X har mange av de egenskapene som Segal ønsket seg. Disse konstruksjonene er essensielt knyttet til teknologien omkring S-algebraer, og det er rimelig å vente at denne streng-teoretiske forbindelsen vil kunne videreutvikles i det foreslåtte prosjektet. For ytterligere detaljer, se artikkelen http://www.math.uio.no/~rognes/papers/segal60.dvi .

4. Aktører

Etter denne forholdsvis detaljerte sammenfatningen av den matematiske teori-utviklingen er det å håpe at vi i hvert fall har etablert hvilke matematikere som er sentrale og aktive aktører innen emnet. Vi har også vist at emnet er knyttet til svært mye moderne matematikk, men et program som det denne søknaden gjelder kan ikke dekke alt, og må konsentrere seg om noen kjerne-områder og realistiske problemstillinger. Vi vil involvere det nå mest faglig aktive sjiktet, samt de lokale matematikerne med kompetanse og erfaring i emnet.

Vi tar sikte på å ha 8 forskere til stede hvert semester, for å utnytte Senterets kapasitet fullt ut. De sterkest involverte norske topologene er professor Nils Baas (3.4) ved NTNU, professor Bjørn Dundas (3.3 og 3.4) ved UiB, samt professorene Bjørn Jahren (3.3) og undertegnede ved UiO. Vi planlegger at Dundas og undertegnede deltar i to semestre, og at Baas og Jahren deltar i ett semester hver, med ekstraordinær forskningsfri fra hjemme-universitetene. Det gjenstår rom for 5 internasjonale deltakere hvert semester, som tilsvarer de 2,5 millioner kroner Senteret anslagsvis kan stille til disposisjon. En rask rundspørring om interessen for et slikt forskningsår i Oslo ga meget positive tilbakemeldinger fra en rekke etablerte og aktive forskere i emnet, bl.a. Andy Baker (Glasgow), Marcel Bökstedt (Århus), John Greenlees (Sheffield), Lars Hesselholt (MIT), Ib Madsen (Århus), Haynes Miller (MIT), Birgit Richter (Bonn), Stefan Schwede (Münster) og Neil Strickland (Sheffield). De mest sentrale internasjonale deltagerne vil Andy Baker (Glasgow, 3.1 og 3.2) og Neil Strickland (Sheffield, 3.1 og 3.3).

I tillegg vil det være naturlig å organisere minst én uke-lang konferanse i hvert semester, med samarbeidspartnerne i prosjektet og andre internasjonale gjester og deltakere. Disse konferansene kan naturlig knyttes til det NFR-finansierte Strategiske universitetsprogrammet i ren matematikk (SUPREMA) som undertegnede leder ved UiO, og som i 2006 vil ha rom for å dekke kostnadene til en av disse konferansene, anslått til 100,000 kroner. Det er også rimelig å anta at de kommende gjesteforskerne i topologi knyttet til det nevnte Strategiske programmet vil være naturlig engasjert i det foreslåtte prosjektet ved Senter for grunnforskning, slik at selv om Senterets finansiering blir noe redusert vil dette kunne fanges opp av SUPREMA.

I tillegg til forskerne som er tenkt som deltakere i dette prosjektet, er det også mange andre norske og skandinaviske forskere som arbeider i tilstøtende emner som er relevante for prosjektet, og som vil kunne dra nytte av prosjektets ventede resultater. I algebraisk geometri gjelder dette f.eks. Arnfinn Laudal og Arne B. Sletsjøe (deformasjonsteori), Ranestad (elliptiske kurver og modulære former), Torsten Ekedal og Andreas L. Knutsen (K3-flater) og Ragni Piene (Calabi-Yau varieteter). I topologi gjelder dette postdoktor-stipendiatene Halvard Fausk, Christian Schlichtkrull og Paul Arne Østvær. Resultatene av forskningen vil formidles gjennom publikasjoner og konferanser, samt gjennom økt ekspertise både innenlands og internasjonalt.

5. Relasjon til andre aktiviteter

5.1. Strategisk universitetsprogram

Undertegnede er leder for NFRs Strategiske universitetsprogram i ren matematikk (SUPREMA) ved Avdeling for matematikk, Matematisk institutt, UiO, som løper fra 2003-2006, med et samlet budsjett på 12,5 millioner kroner til doktor- og postdoktor-stipendier, samt gjesteforskere, konferanser og seminar-virksomhet, innen algebra, analyse og topologi. Det foreslåtte prosjektet ved Senter for grunnforskning gjelder et klart avgrenset fagområde innenfor det videre emnet for det Strategiske programmet, som er "New Contexts for Arithmetic and Geometry". Prosjektet er også klart fokusert på arbeid i forskningsfronten, med en liste presise problemstillinger innen aktuell grunnforskning. Det er rimelig å forvente at det økte antallet yngre og aktive forskere som knyttes til Matematisk institutt, UiO i perioden for det Strategiske programmet også vil øke interessen for, og oppmerksomheten på, det foreslåtte forskningsåret ved Senter for grunnforskning. Lederoppgaven for det Strategiske programmet er forenlig med ett års forskningsopphold ved Videnskaps-akademiet.

5.2. Marie Curie Center of Excellence

Undertegnede deltar også i gruppen ved UiO som utgjør et EU-finansiert Marie Curie Center of Excellence, eller Training Site (OMATS) for europeiske doktorgradsstudenter i algebraisk geometri, operator-algebraer og algebraisk K-teori. OMATS-finansieringen løper 2000-2004, men er søkt videreført i en fornyet form (MAESTRO) i det neste EU-rammeprogrammet, og vil da kunne overlappe med prosjektperioden ved Senteret. Det er ingen konflikt mellom disse overlappende faglige interessene.

5.3. Yngre Fremragende Forskere

Undertegnede har med støtte fra Matematisk institutt, UiO, søkt NFR om et prosjekt under deres program for Yngre fremragende forskere (YFF), for perioden 2004-2009. Den søknaden fokuserer på en skisse for hvordan topologisk syklisk homologi kan brukes til å vise en generalisert Lichtenbaum-Quillen formodning om Galois descent av algebraisk K-teori for kommutative S-algebraer, og overlapper sterkt med emnet 3.3 ovenfor. YFF-søknaden tar klart hensyn til muligheten for et CAS-program om "brave new rings" i ett av de akademiske årene som begynner 2006, 2007 eller 2008. De postdoktor-stipendiater og gjesteforskere som eventuelt vil være tilknyttet et slikt YFF-program vil naturligvis ytterligere berike det fagmiljøet som vi her foreslår å samle ved CAS, og vil være meget godt samlet med hensyn til faglige interesser.

6. Sammendrag

Prosjektet vil samle de internasjonalt ledende og mest aktive matematiske forskerne innen studiet av "vidunderlige nye ringer", også kjent som "S-algebraer", til et forskningsår ved Senter for grunnforskning i Oslo. Forskningen vil konsentreres om aktuelle problemstillinger knyttet til (3.1) Topologiske modulære former og K3-kohomologi, (3.2) topologisk André-Quillen kohomologi, (3.3) algebraisk K-teori og topologisk syklisk homologi, og (3.4) elliptisk kohomologi og streng-teori. Disse emnene er igjen knyttet til henholdsvis tallteori, stabil homotopi-teori, geometrisk topologi og matematisk fysikk. I prosjektperioden vil 5 internasjonale og 3 norske forskere oppholde seg ved Senteret i hvert semester, og det vil organiseres en faglig konferanse knyttet til forskningen i hvert semester. Finansieringen kan styrkes ved et samarbeid med NFRs Strategiske universitetsprogram i ren matematikk ved UiO (5.1). Et eventuelt YFF-program om S-algebraer (5.3) vil også ytterligere berike det fagmiljøet som vil kunne samles ved CAS i 2006-2007.

John Rognes
Professor, Matematisk institutt
Oslo, 23. januar 2004