Symmetriske spektra

Forelesningene gir en introduksjon til symmetriske spektra. Symmetriske spektra gir et teknisk fundament for å kunne snakke om strukturerte ring- og modul-spektra.

Vi følger artikkelen Symmetric Spectra av Mark Hovey, Brooke Shipley og Jeff Smith, Journal of the A.M.S., vol. 13, s. 149-208.

Motivasjon

I topologi studeres kategorien T av rom med basispunkt og basispunktbevarende avbildninger. I homotopiteori studeres homotopiinvariante egenskaper ved slike rom og avbildninger, dvs. man studerer kvotientkategorien der homotope avbildninger er identifisert med hverandre. I denne kategorien er homotopiekvivalensene invertible. Oftest gjør man også de svake homotopiekvivalensene invertible; da dannes homotopikategorien Ho(T). La [X, Y] være morfismene i Ho(T) fra X til Y. Hvis X har homotopitypen til et CW kompleks er dette lik homotopiklassene av avbildninger fra X til Y.

La SX være suspensjonen til X. Det er en suspensjonsavbildning

E : [X, Y] -> [SX, SY]
som ved Freudenthals isomorfiteorem er en isomorfi hvis Y er k-sammenhengende og X har dimensjon <= 2k. Vi sier at homotopiklassene av avbildninger fra X til Y i dette tilfellet er stabile, dvs. de er uendret om rommene X og Y erstattes med sine suspensjoner.

Den ``stabile homotopikategorien'' er avledet fra Ho(T) ved å gjøre alle homotopiklasser stabile, dvs. å gjøre suspensjonsavbildningen til en isomorfi overalt. Dette gjøres ved å invertere E, dvs. å erstatte [X, Y] med den direkte grensen

colim([X, Y] -> [SX, SY] -> ... -> [SnX, SnY] -> ...)
Denne konstruksjonen bruker sekvensen (X, SX, ..., SnX, ...). For å få en tilstrekkelig fleksibel kategori tillater vi mer generelle sekvenser på formen (X0, X1, ..., Xn, ...) sammen med avbildninger SXn -> Xn+1 for alle n>=0. En slik sekvens
X = (Xn, SXn -> Xn+1)n
av rom og avbildninger kalles et spektrum. De danner objektene i en kategori SpN.

Det er en funktor T -> SpN som tar et rom X til dets suspensjonsspektrum (SnX, id)n. Suspensjonsspekteret til X = S0 kalles sfærespekteret S = (Sn, id)n.

Homotopigruppene til et spektrum er definert ved

pik(X) = colim(pik(X0) -> pik+1(X1) -> ... pik+n(Xn) -> ...)
for alle heltall k. En avbildning X -> Y av spektra kalles en svak ekvivalens dersom den induserer en isomorfi på pik for alle heltall k. Den stabile homotopikategorien Ho(SpN) oppstår ved å invertere de svake ekvivalensene i SpN.

Smash produktet av rom med basispunkt definerer en paring på T som er kommutativ og assosiativ opp til ``koherente'' isomorfier. En kategori med en slik paring kalles en symmetrisk monoidal kategori. Dette smash produktet definerer også et smash produkt på homotopikategorien Ho(T), og det finnes en utvidelse av dette smash produktet til den stabile homotopikategorien Ho(SpN). Men det er umulig med disse definisjonene å konstruere et tilsvarende smash produkt direkte på kategorien SpN av spektra, slik at SpN blir en symmetrisk monoidal kategori.

For å oppnå dette må definisjonen av spektra berikes til noe som kalles et symmetrisk spektrum. Disse er objektene i en kategori SpSymm. Igjen kan noen morfismer i denne kategorien defineres som svake ekvivalenser, og om disse inverteres får man en homotopikategori Ho(SpSymm) som er ekvivalent med den stabile homotopikategorien Ho(SpN). Samtidig kan man konstruere et smash produkt av symmetriske spektra som gjør SpSymm til en symmetrisk monoidal kategori, slik at det induserte smash produktet på Ho(SpSymm) svarer til det kjente smash produktet på Ho(SpN).

Bakgrunn

Underveis vil vi studere simplisielle mengder, og modell-kategorier.

For mer om simplisielle mengder, se f.eks.

For mer om modell-kategorier, se f.eks.

Tid og sted:

Forelesningene gikk som en del av topologiseminaret, tirsdager fra 10. oktober til 14. november 2000.

John Rognes / 22. september 2000