Seminar om sporformler, høsten 2003

Arbeidsseminar

Som en del av det strategiske universitetsprogrammet i ren matematikk (SUPREMA) ved Matematisk institutt, vil det høsten 2003 gå et SUP arbeidsseminar om sporformler (denne siden), i tillegg til et SUP arbeidsseminar i ikke-kommutativ geometri.

Forelesninger

• John Rognes, Introduksjon om sporformler,
  tirsdag 9. september kl. 14.15 - 16.00 i B63.
• Bjørn Jahren, Lefschetz' fikspunktformel,
  tirsdag 16. september kl. 14.15 - 16.00 i B63.
• John Rognes, Sporformler for strømmer,
  tirsdag 23. september kl. 14.15 - 16.00 i B63.
• Nils Øvrelid, Schwartz' kjerneteorem, Elliptiske komplekser,
  tirsdag 7. oktober kl. 14.15 - 16.00 i B63.
• Hans Brodersen, Atiyah og Botts Lefschetz fikspunktformel,
  tirsdag 14. oktober kl. 14.15 - 16.00 i B63.
• John Rognes, Et omriss av beviset,
  tirsdag 28. oktober kl. 14.15 - 16.00 i B63.
• Nils Øvrelid, Pseudodifferensialoperatorer,
  tirsdag 11. november kl. 14.15 - 16.00 i B63.
• Nils Øvrelid, Elliptiske komplekser,
  tirsdag 18. november kl. 14.15 - 16.00 i B63.
• Geir Ellingsrud, Lokal formel for det transverselle sporet,
  tirsdag 2. desember kl. 14.15 - 16.00 i B63.
• John Rognes, Kalkyle for delta-seksjoner og -tettheter,
  tirsdag 9. desember kl. 14.15 - 16.00 i B63.
• John Rognes, Guillemins sporformel,
  tirsdag 16. desember kl. 14.15 - 16.00 i B63.

Rød tråd

Seminaret tar utgangspunkt i det geometriske innholdet i kapittel 3, "Weil positivity and the Trace formula", i oversiktsartikkelen:

• Alain Connes, Noncommutative Geometry and the Riemann Zeta Function,
  Mathematics: frontiers and perspectives, 35-54, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

Flere detaljer

Dette kapitlet tar igjen for seg materiale fra kapittel IV, "The distribution trace formula for flows on manifolds", kapittel V, "The action (lambda, x) -> lambda x of K^* on a local field K", kapittel VI, "The global case, and the formal trace computation" og appendix III, "Distribution trace formulas", fra artikkelen:

• Alain Connes, Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function,
  Selecta Math. (NS) 5 (1999), 29-106.

Mer bakgrunn

Senere forelesninger vil handle om:

• Lefschetz' fikspunkt-formel for en selv-avbildning f : X -> X på en mangfoldighet;
• Atiyah og Botts generalisering av Lefschetz-formelen til selv-avbildninger av elliptiske komplekser;
• Guillemins distribusjons-teoretiske formel for en familie av selv-avbildninger, f.eks. en strøm;
• Connes' formodede sporformel for Riemann-strømmen til en global kropp.

Noen referanser for dette er som følger:

• Allen Hatcher, Algebraic Topology,
  Chapter 2.C, Simplicial Approximation (pp. 177-184).
• Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential Topology,
  Chapter 3.4, Lefschetz Fixed-Point Theory (pp. 119-130).
• M.F. Atiyah and R. Bott, A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes: I,
  Annals of Math (2) 86 (1967), 374-407.
• M.F. Atiyah and R. Bott, A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes: II,
  Annals of Math (2) 88 (1968), 451-491.
• L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators: III, Chapter XIX, "Elliptic Operators on a Compact Manifold Without Boundary", Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 274, Springer-Verlag (1985).
• Victor Guillemin, Lectures on spectral theory of elliptic operators,
  Duke Math. J. 44 (1977), 485-517.
• Victor Guillemin and Shlomo Sternberg, Geometric asymptotics,
  Mathematical Surveys, No. 14. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1977. (Chapter VI.1-2.)

Videre anvendelser

Videre arbeider og anvendelser av slike ideer, som kan motivere et studium av disse sporformlene, finnes f.eks. i:

• M.F. Atiyah and I.M. Singer, The index of elliptic operators. I,
  Ann. of Math. (2) 87 (1968) 484-530.
• M.F. Atiyah and G.B. Segal, The index of elliptic operators. II,
  Ann. of Math. (2) 87 (1968) 531-545.
• M.F. Atiyah and I.M. Singer, The index of elliptic operators. III,
  Ann. of Math. (2) 87 (1968) 546-604.
• Edward Witten, The index of the Dirac operator in loop space,
  Elliptic curves and modular forms in algebraic topology (Princeton, NJ, 1986), 161-181, Lecture Notes in Math., 1326, Springer, Berlin, 1988.
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger and Rainer Jung, Manifolds and modular forms,
  Aspects of Mathematics, E20. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1992.
• M.F. Atiyah and R. Bott, The moment map and equivariant cohomology,
  Topology 23 (1984), 1-28.
• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Appendix C, "The Weil Conjectures",
  Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer-Verlag (1977).

Atiyah-Singer indeks-teoremet overlapper med Atiyah-Bott spor-formelen, og omfatter slike resultater som (Grothendieck-) Riemann-Roch.

Wittens artikkel gir et heuristisk argument basert på indeks-teoremet som oppfatter rommet av lukkede kurver (strenger) i en (tilstrekkelig paralleliserbar) mangfoldighet som en spin-mangfoldighet, og tilordner en invariant til slike mangfoldigheter som tar verdier i elliptiske modulære former. Hirzebruch et als bok utdyper denne teorien.

Atiyah-Botts lokaliseringsteorem for ekvivariant kohomologi kan anvendes til å telle rasjonale kurver, i algebraisk geometri.

Hartshorne skisserer fortolkningen av Weil-formodningene (Riemann-hypotesen for varieteter over endelige kropper) ved hjelp av sporet til Frobenius-operatoren på l-adisk kohomologi.