Bjørn Ian Dundas

"Multiplikasjon i K-teori"

Abstrakt: Med jevne mellomrom tråkker alle K-teoretikere i salaten mhp. noe Thomason kalte "the phony multiplication in K-theory". Selv gjorde jeg det ganske for nylig.

Hva er problemet, og hvordan kan det fikses?

I våre bestrebelser i forbindelse med 2-bunter og lignende har Baas, Rognes og jeg behov for en konstruksjon som tar en bimonoidal kategori R og gir en funktor av bimonoidale kategorier R -> G(R) som oppfyller:

  1. den additive strukturen på \pi_0 G(R) er en abelsk gruppe.
  2. hvis en glemmer den multiplikative strukturen og tar K-teori, gir R -> G(R) en stabil ekvivalens K(R) ~ KG(R).

Grovt sett vil dette si at om vi tenker på R som analog med en semi-ring, så er G(R) den assosierte ringen - på en homotopi-meningsfylt måte.

Quillen's minste versjon av K-teori er modellert på at man nensomt legger til alle additive inverser - den såkalte S^{-1}S-modellen. Denne oppfyller begge kravene 1 og 2 ovenfor, men er dessverre ikke bimonoidal.

Det er efterhvert kommet mange måter å handicraft den multiplikative strukturen til K-teori av bimonoidale kategorier. Men ingen adresserer problemet direkte, og kan som sådan ikke brukes for våre anvendelser.

I mitt foredrag skal jeg snakke om måter å håndtere dette problemet på.