John Rognes

"Stabilt dualiserbare grupper"

Abstrakt: Kompakte Lie-grupper opptrer naturlig som symmetrigrupper for geometriske strukturer, og dette leder til studiet av G-ekvivariante rom og avbildninger. Den G-ekvivariante stabile homotopi-teorien inneholder dualitets-isomorfier som bygger på representasjonsteorien for G, f.eks. Adams-isomorfien

E/G = [Sigma^{-A} i_*E]^G

for et fritt G-spektrum E. Her er A = adG lik Lie algebraen til G med den adjungerte G-virkningen.

For hvert primtall p er p-kompletteringen av en kompakt Lie gruppe et eksempel på det Dwyer og Wilkerson kaller en "p-kompakt gruppe". Slik kan den globalt definerte Lie gruppen studeres ved ett primtall av gangen, og det finnes "eksotiske" eksempler på p-kompakte grupper som ikke er p-kompletteringen av en Lie gruppe. Tilman Bauers doktoravhandling illustrerer hvordan deler av den ekvivariante stabile homotopiteorien fortsatt er tilgjengelig for p-kompakte grupper G, f.eks. finnes det en p-komplett sfære S^{adG} med G-virkning, som i Lie-gruppe tilfellet spiller rollen til ett-punktskompaktifiseringen av representasjonen adG, selv om adG ikke selv eksisterer som tangentrom.

I stabil homotopi-teori er det mulig å lokalisere den p-primære kategorien ytterligere, ved den kromatiske filtrasjonen. De fineste lokaliseringene gjøres med hensyn på Morava K-teoriene K(p, n) = K(n), for naturlige tall n. Foredraget introduserer begrepet "K(n)-kompakt gruppe", og legger vekt på at det ureduserte suspensjonsspekteret til en slik gruppe er dualiserbar i den K(n)-lokale kategorien. Igjen finnes det eksotiske eksempler på slike, som ikke er lokaliseringen av en p-kompakt gruppe. For hver K(n)-kompakt gruppe G kan man konstruere et spektrum S^{adG} med G-virkning, som er smash invertibelt i den K(n)-lokale kategorien, og det er ekvivalenser

[S^{adG} smash X]_{hG} = X^{hG}

som motsvarer Adams-isomorfien. Dermed er mye av den (naive) G-ekvivariante stabile homotopi-teorien tilgjengelige for en mye større klasse topologiske grupper G.

En annen motivasjon for å studere denne klassen av topologiske grupper er at de har de formelle egenskapene som kreves av Galois-grupper i den K(n)-lokale kategorien.