Vidunderlige nye ringer

Det følgende er basert på et populariserende foredrag forfatteren holdt ved Nobelinstituttet i juni 2000.

Ringer

La oss begynne med aritmetikken. For å telle kofferter i bagasjen eller jordbær på tallerkenen eller sandkorn på en strand bruker vi tall, de naturlige tallene 1, 2, 3 osv. Vi kan legge dem sammen, og multiplisere, og hvis vi dessuten føyer til 0 og de negative tallene kan vi også trekke fra. Da får vi de hele tallene : ..., -1, 0, 1, 2, ... . Samlingen av alle de hele tallene kalles en ring. Her betyr en ring en samling av elementer som er knyttet sammen på en bestemt måte. Denne ringen har et navn: den heter Z, for ``Zahlen'' (tall).

Noen ganger må man dele tretten jordbær på to barn, og da får man behov for brøkregning. Samlingen av alle brøker, så som 13/2 eller 22/7 kalles ringen av rasjonale tall, og den har navnet Q, for ``Quotients''.

Noen ganger forsøker man å måle en størrelse, for eksempel forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel. Da er svaret et sted mellom 3.1 og 3.2, og et sted mellom 3.14 og 3.15, og mer presist kan svaret gi som et desimaltall med uendelig mange desimaler: pi = 3.1415926... Samlingen av alle desimaltall, så som kvadratroten av 2 = 1.4142135... eller pi, kalles ringen av reelle tall. Den har navnet R, for ``Real''.

Og selv om kvadratroten av 2 er gitt som et desimaltall, så er ikke -1 kvadratet av noe slikt tall. Så man tilføyer et nytt tall ``i'', lik kvadratroten av -1, og ser på komplekse tall på formen z = x + iy, der x og y er reelle tall. Ringen av komplekse tall kalles C, for ``Complex''.

I klassisk algebra er Z den første og fremste ringen. Alle andre ringer, så som Q, R og C, kommer etter Z i den forstand at et helt tall i Z alltid har et bilde, eller en representant, i enhver annen ring. For eksempel kan det hele tallet 3 oppfattes som brøken 3/1, eller som desimaltallet 3.0, eller som det komplekse tallet 3 + i.0 .

Vidunderlige nye ringer

Så kommer vi til geometrien. De matematikerene som driver med den typen geometri og romforståelse som heter topologi kalles topologer. I det 20. århundre har de kommet over nye eksempler på samlinger av romlige objekter som oppfører seg som tallsystemer, dvs. som er ringer. I hvert fall nesten. De er bare litt mer generelle enn ringer i algebraisk forstand. Men de gir opphav til en helt ny flora av nye og uvante tallsystemer, som ikke tidligere har vært utforsket. Kanskje heller ikke drømt om.

Det første eksempelet på en slik ``ny ring'' kalles sfærespekteret, og heter S. Denne nye ringen S har i seg selv en geometrisk form, så vi bruker et romlig språk og snakker om tallene i S som punkter, heller enn som elementer i ringen. Et punkt i S er da per definisjon en avbildning fra en sirkel til seg selv, eller en avbildning fra en kuleflate til seg selv, eller mer generelt fra en d-dimensjonal sfære til seg selv, der dimensjonen d kan være vilkårlig stor.

Et annet eksempel på en slik ``ny ring'' kalles topologisk K-teori, og heter K. Igjen har denne ringen K en form, og består av punkter. Ett slikt punkt er en parametrisert familie av linjer, eller plan, eller høyeredimensjonale vektorrom. Et eksempel: En linje som dreies i rommet til den er kommet tilbake til utgangspunktet, men pekende i motsatt retning. Dette er et punkt i K, altså et nytt tall, som heter eta. Da er eta + eta lik 0, for dreier man linjen to halve runder er man (essensielt) tilbake til utgangspunktet.

Et tredje eksempel på en ``ny ring'' kalles J-teori, heter J, og er konstruert fra K ved å ta hensyn til de interne symmetriene i K.

Disse nye ringene, så som S, K og J, detroniserer de hele tallene Z fra rollen som den første og fremste ringen. I stedet er sfærespekteret S den nye første og fremste ringen, og det er punktene i S som har bilder, eller representanter i alle andre ringer.

I stedet for å lage nye ringer som kommer etter Z, ved å føye til nye tall som ikke var med før, går altså den siste utviklingen den andre veien. Man lager ringer som kommer foran Z, ved å erstatte hvert gammelt tall, som bare bestod av ett element, med en romlig figur bestående av mange forskjellige, nye tall. For eksempel er det en uendelig samling av punkter i sfærespekteret S som alle sammen representerer ett og samme hele tall. Men i S er de forskjellige; altså har det ene gamle hele tallet est opp til en romlig form med mange forskjellige nye tall inne i seg.

Stormen

Disse nye tallsystemene ble døpt ``Brave New Rings'' av professor Friedhelm Waldhausen, i et foredrag ved Northwestern University i 1988. På norsk kan vi kalle dem ``vidunderlige nye ringer''. Navnet refererer til Aldous Huxleys dystopi ``Brave New World'', som igjen refererer til William Shakespeares skuespill ``Stormen'' [2]. Her blir Hertug Prospero av Milano utsatt for et kupp av sin bror Antonio, og strandet på en øde øy sammen med sin unge datter Miranda. Mange år senere driver en storm broren Antonio og hans menn til skipbrudd på samme øy. Miranda, som ikke husker andre mennesker enn sin far, gleder seg i ungdommelig begeistring over oppdagelsen av at det finnes så mange flere mennesker i verden. Den mer erfarne Prospero er adskillig mer tilbakeholden i sin begeistring.

Likeledes er matematikerene nå konfrontert med en ny verden av tallsystemer, eller ringer. Noen av oss er entusiastisk begeistret, med håp om uanede nye muligheter for hva vi kan oppnå med de nye tallene. Andre er mer skeptiske, og vil først overbevises om at gamle fiender nå virkelig angrer sine synder.

La meg gjennom en ekskurs tilby matematikere en idé om hva som kan oppnås med ``Brave New Rings'':

Topologiske modulære former

En elliptisk modulær form over Z er en algebraisk funksjon på moduli-rommet av isomorfiklasser av elliptiske kurver. Tilsvarende kan man gi mening til elliptiske modulære former over S, og avbildningen fra S til Z gir en avbildning fra modulære former over S til modulære former over Z. Dette er en isomorfi vekk fra 2 og 3, men avbildningen har en kjerne og en kokjerne som inneholder 2- og 3-torsjon. For eksempel er diskriminanten Delta en modulær form over Z som ikke er topologisk, dvs. ikke er i bildet fra de modulære formene over S. Men 24 ganger diskriminanten er topologisk.

Et gitter har en theta-funksjon, som er et eksempel på en slik modulær form over Z. Professor Richard E. Borcherds (som fikk Fieldsmedaljen i 1998) har vist at for et jevnt unimodulært gitter oppfyller denne theta-funksjonen visse kongruenser [1]. Dette er nettopp de kongruensene som sier at theta-funksjonen til et jevnt unimodulært gitter er topologisk, dvs. at den kan defineres som en modulær form over S. Dette kan oppfattes som at modulære former over S er et naturlig sted for å studere visse dypere fenomener i aritmetikken.

Topologiske Galois-grupper

Et av de mest berømte uløste problemer i matematikken er Riemann-hypotesen om primtallenes fordeling. André Weil (1906-1998) har til og med publisert et hint: Han ønsker å realisere en såkalt idele-klassegruppe som Galois-gruppen til en passende kroppsutvidelse [3].

Dette har vist seg uråd å gjennomføre innenfor rammen av klassiske ringer. Men det finnes en Galois-teori (etter Évariste Galois (1811-1832)) for utvidelser av ``Brave New Rings'', som gir nye eksempler og nye muligheter for å realisere grupper som slike Galois-grupper. For eksempel er J -> K en Galois-utvidelse med egenskaper som minner om syklotomiske utvidelser i tallteori, men likevel er usynlig for klassisk algebra.

Det er for optimistisk å tro at denne nye begrepsutvidelsen umiddelbart vil løse utrolig vanskelige klassiske problemer, slik som Riemann-hypotesen, men den åpner for et bredt spekter av nye muligheter. Fremtiden vil vise hvor vidundelige de er.

Referanser

  1. R. Borcherds, ``Automorphic forms on Os+2,2(R) and infinite products'', Invent. Math., 120, (1995) 161-213.
  2. W. Shakespeare, ``Stormen'', gjendiktet av André Bjerke, Aschehoug, 1995.
  3. A. Weil, ``Sur la Théorie du Corps de Classes'', J. Math. Soc. Japan, 3 (1951), 1-35.

Professor John Rognes
Matematisk institutt
1. september 2000